Question

已知函數(shù)f（x）=

lnx+a

x

（a∈R）
（Ⅰ）求f（x）的極值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）=1的圖象在區(qū)間（0，e²]上有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)各項(xiàng)為正的數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：a1=1，an+1=lnan+an+2，n∈N*，求證：an≤2n-1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)的極值；
（Ⅱ）分類(lèi)討論：①當(dāng)e^1-a＜e²，即a＞-1時(shí)，f（x）在（0，e^1-a）上是增函數(shù)，在（e^1-a，e²）上是減函數(shù)，可得函數(shù)的最值，利用函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）=1的圖象在區(qū)間（0，e²]上有公共點(diǎn)，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍；
②當(dāng)e^1-a≥e²，即a≤-1時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，e²]上是增函數(shù)，可得函數(shù)的最值，利用函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）=1的圖象在區(qū)間（0，e²]上有公共點(diǎn)，從而可得結(jié)論；
（Ⅲ）先證明lnx≤x-1，從而可證a_n+1=lna_n+a_n+2≤2a_n+1，由此可證結(jié)論．

解答：（Ⅰ）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），求導(dǎo)數(shù)f′(x)=

1-(lnx+a)

x2

，
令f′（x）=0得x=e^1-a，
當(dāng)x∈（0，e^1-a）時(shí)，f′（x）＞0，∴f（x）是增函數(shù)；
當(dāng)x∈（e^1-a，+∞），f′（x）＜0，∴f（x）是減函數(shù)；
∴f（x）在x=e^1-a處取得極大值，f（x）_極大值=f（e^1-a）=e^a-1，無(wú)極小值．
（Ⅱ）解：①當(dāng)e^1-a＜e²，即a＞-1時(shí)，
由（Ⅰ）知，f（x）在（0，e^1-a）上是增函數(shù)，在（e^1-a，e²）上是減函數(shù)，
∴f(x)max=f(e1-a)=ea-1…（7分）
∵若函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）=1的圖象在區(qū)間（0，e²]上有公共點(diǎn)，
∴e^a-1≥1
∴a≥1
∵a＞-1，∴a≥1
②當(dāng)e^1-a≥e²，即a≤-1時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，e²]上是增函數(shù)，
∴f（x）在區(qū)間（0，e²]上的最大值為f（e²）=

2+a

e2

∴原問(wèn)題等價(jià)于

2+a

e2

≥1
∴a≥e²-2
∵a≤-1，∴無(wú)解
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）．
（Ⅲ）證明：令a=1，由（Ⅰ）知，

lnx+1

x

≤1(x＞0)，∴l(xiāng)nx≤x-1，
∵a₁=1，假設(shè)ak≥1(k∈N*)，則a_k+1=lna_k+a_k+2＞1，故an≥1(n∈N*)
從而a_n+1=lna_n+a_n+2≤2a_n+1
∴1+an+1≤2(1+an)≤…≤2n(1+a1)
即1+an≤2n，
∴an≤2n-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)而得單調(diào)性與極值，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，考查不等式的證明，屬于中檔題．