Question

（2012•浙江模擬）關(guān)于x的方程2cos²x-sinx+a=0在區(qū)間[0，

7π

6

]上恰好有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

（-

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8

，-2）∪（-2，1）

．

Answer 1

分析：令t=sinx，當(dāng)x∈[π，

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6

]時(shí)，x與t一一對(duì)應(yīng)，由題意可得直線y=a和曲線y=2t²+t-2在[-

1

2

，1]上有兩個(gè)交點(diǎn)，由此求得a的范圍． 當(dāng)x∈（0，π），且x≠

π

2

時(shí)，有2個(gè)x與一個(gè)t值對(duì)應(yīng)，直線y=a和曲線y=2t²+t-2在[-

1

2

，1）上有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象求出實(shí)數(shù)a的取值范圍． 再把以上2個(gè)a的取值范圍取并集，即得所求．

解答：解：由題意，方程可變?yōu)閍=-2cos²x+sinx，令t=sinx，
由0＜x≤

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，可得 t∈[-

1

2

，1]．
①當(dāng)x∈[π，

7π

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]時(shí)，t∈[-

1

2

，0]，此時(shí)，x與t一一對(duì)應(yīng)．
由題意可得，關(guān)于t的方程a=2t²+t-2，當(dāng)t∈[-

1

2

，0]應(yīng)有2個(gè)實(shí)數(shù)根，
即直線y=a和函數(shù)y=2t²+t-2，當(dāng)t∈[-

1

2

，0]應(yīng)有2個(gè)交點(diǎn)．
當(dāng)t=-

1

4

時(shí)，y=2t²+t-2有最小值-

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． 當(dāng)t=-

1

2

或0時(shí)，a=2t²+t-2=-2．
此時(shí)，應(yīng)有 a∈（-

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，-2]．
但當(dāng)a=-2時(shí)，t=-

1

2

或0，在區(qū)間[0，

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6

]上，對(duì)應(yīng)x=0 或π或

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，
關(guān)于x的方程2cos²x-sinx+a=0在區(qū)間[0，

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6

]上有3個(gè)實(shí)數(shù)根，
故不滿足條件，應(yīng)舍去，故 a∈（-

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，-2）．
②當(dāng)x∈（0，π），且x≠

π

2

時(shí)，有2個(gè)x與一個(gè)t值對(duì)應(yīng)．
故由題意可得，關(guān)于t的方程a=2t²+t-2，當(dāng)t∈（0，1）有一個(gè)實(shí)數(shù)根，
即直線y=a和曲線y=2t²+t-2在（0，1）上有一個(gè)交點(diǎn)，如圖所示：
此時(shí)，a∈（-2，1）．
綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是 （-

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，-2）∪（-2，1），
故答案為  （-

17

8

，-2）∪（-2，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查根據(jù)復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性求值域，本題求參數(shù)范圍的題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域是解此類題的常用技巧，屬于中檔題．