Question

 在長(zhǎng)方體BCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是棱BC，CC₁上的點(diǎn)，CF=AB=2CE，AB：AD：AA₁=1：2：4
（1）求異面直線EF與A₁D所成角的余弦值；
（2）求二面角A₁-ED-F的正弦值．

Answer 1

如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)AB=1，依題意得D（0，2，0），F(xiàn)（1，2，1），A₁（0，0，4），E（1，

3

2

，0），
（1）易得

EF

=（0，

1

2

，1），

A1D

=（0，2，-4），于是cos＜

EF

，

A1D

＞=

EF • A1D

| EF || A1D |

=-

3

5

，


所以異面直線EF與A₁D所成角的余弦值為

3

5

．
（2）設(shè)平面EFD的法向量

n

=（x，y，z），則

n

•

EF

=

1

2

y+z=0，且

n

•

ED

=-x+

1

2

y=0，
不妨令x=1，可得

n

=（1，2，-1），
設(shè)平面A₁ED的法向量

m

=（m，n，p）則

m

•

ED

=-m+

1

2

n=0且

m

•

DA1

=-2n+4p=0，
取p=1，則n=2，m=1，則

m

=（1，2，1），
于是cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n || m |

=

2

3

，從而sin＜

n

，

m

＞=

5

3

，
所以二面角A₁-ED-F的正弦值為

5

3

．