Question

（2007•廣州一模）如圖所示，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，BB₁=2，連結(jié)A₁C、BD．
（Ⅰ）求證：A₁C⊥BD；
（Ⅱ）求三棱錐A₁-BCD的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用線面垂直的性質(zhì)先證明BD⊥平面A₁AC，然后再證：A₁C⊥BD；
（Ⅱ）根據(jù)錐體的體積公式求體積即可．

解答：解：（Ⅰ）證明：連AC．
∵AB=BC，
∴BD⊥AC．                                             …（2分）
∵A₁A⊥底面ABCD，
∴BD⊥A₁A．                    …（4分）
∵A₁A?平面A₁AC，AC?平面A₁AC，A₁A∩AC=A，
∴BD⊥平面A₁AC．              …（6分）
∴BD⊥A₁C．                    …（8分）
（Ⅱ）解：∵A₁A⊥平面BCD，所以A₁A是錐體的高，
∴VA1-BCD=

1

3

S△BCD•AA1=

1

3

×

1

2

×1×1×2=

1

3

．…（14分）

點評：本題主要考查線面垂直的性質(zhì)以及應(yīng)用，錐體的體積公式．