Question

（2007•廣州一模）已知圓C：x²+y²-2x-2y+1=0，直線l：y=kx，且l與C相交于P、Q兩點，點M（0，b），且MP⊥MQ．
（Ⅰ）當b=1時，求k的值；
（Ⅱ）當b∈（1，

3

2

），求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當b=1時，點M（0，b）在圓C上，當且僅當直線l經(jīng)過圓心C時，滿足MP⊥MQ．把圓心坐標（1，1）代入直線l：y=kx，可得k的值．
（Ⅱ）把直線l的方程代入圓的方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系以及

MP

•

MQ

=0，求得

2k(1+k)

1+k2

=b+

1

b

．令f(b)=b+

1

b

，則f（b）
在區(qū)間(1，

3

2

)上單調(diào)遞增，求得f(b)∈(2，

13

6

)，可得 2＜

2k(1+k)

1+k2

＜

13

6

，解此不等式求得k的取值范圍（注意檢驗△＞0）．

解答：解：（Ⅰ）圓C：（x-1）²+（y-1）²=1，當b=1時，點M（0，b）在圓C上，
當且僅當直線l經(jīng)過圓心C時，滿足MP⊥MQ．…（2分）
∵圓心C的坐標為（1，1），∴k=1．…（4分）
（Ⅱ）由

y=kx x2+y 2-2x-2y+1=0

，消去y得：（1+k²）x²-2（1+k）x+1=0．①
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∴x1+x2=

2(1+k)

1+k2

，x1x2=

1

1+k2

．…（6分）
∵MP⊥MQ，∴

MP

•

MQ

=0．
∴（x₁，y₁-b）•（x₂，y₂-b）=0，即 x₁x₂+（y₁-b）（y₂-b）=0．
∵y₁=kx₁，y₂=kx₂，
∴（kx₁-b）（kx₂-b）+x₁x₂=0，即(1+k2)x1x2-kb(x1+x2)+b2=0．…（8分）
∴(1+k2)•

1

1+k2

-kb•

2(1+k)

1+k2

+b2=0，即

2k(1+k)

1+k2

=

b2+1

b

=b+

1

b

．
令f(b)=b+

1

b

，則f（b）在區(qū)間(1，

3

2

)上單調(diào)遞增．
∴當b∈(1，

3

2

)時，f(b)∈(2，

13

6

)．…（11分）
∴2＜

2k(1+k)

1+k2

＜

13

6

．
即

2k(1+k)＞2(1+k2)  2k(1+k)＜ 13 6 (1+k2)

，解得

k＞1 k＞6+ 23  ，或k＜6- 23

，
∴1＜k＜6-

23

或k＞6+

23

．…（13分）
由①式得△=[2（1+k）]²-4（1+k²）＞0，解得k＞0．
∴1＜k＜6-

23

，或k＞6+

23

．
∴k的取值范圍是(1，6-

23

)∪(6+

23

，+∞)．…（14分）

點評：本題主要考查直線和圓相交的性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域，一元二次不等式的解法，屬于中檔題．