Question

設(shè)，函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求在內(nèi)的極大值；

（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，總有，求實(shí)數(shù)的值.（其中是的導(dǎo)函數(shù)．）

 

Answer 1

【答案】

（1）1;（2） .

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，求, 令，求,利用的單調(diào)性，求的最大值，利用的最大值的正負(fù)，確定的正負(fù)，從而確定的單調(diào)性，并確定的正負(fù)，即的正負(fù)，得到的單調(diào)性，確定極大值，此題確定極大值需要求二階導(dǎo)數(shù)，偏難；（2）先求函數(shù)，再求,由方程有兩個(gè)不等實(shí)根, 確定的范圍，再將代入，再整理不等式，討論,,三種情況，反解，從而利于恒成立求出的范圍.屬于較難試題.

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，

則， 2分

令，則，

顯然在內(nèi)是減函數(shù)，

又因，故在內(nèi)，總有，

所以在上是減函數(shù) 4分

又因， 5分

所以當(dāng)時(shí)，，從而，這時(shí)單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，從而，這時(shí)單調(diào)遞減，

所以在的極大值是． 7分

（2）由題可知，

則． 8分

根據(jù)題意，方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，（），

所以，即，且，因?yàn)?/span>，所以.

由，其中，可得

注意到，

所以上式化為，

即不等式對(duì)任意的恒成立 10分

（i）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，；

（ii）當(dāng)時(shí)，恒成立，即．

令函數(shù)，顯然，是上的減函數(shù)，

所以當(dāng)時(shí)，，所以； 12分

（iii）當(dāng)時(shí)，恒成立，即．

由（ii），當(dāng)時(shí)，，所以 14分

綜上所述，． 15分

考點(diǎn)：1.利于導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值；2.利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問(wèn)題.