Question

已知向量

a

=（sinx，1+cos2x），

b

=（sinx-cosx，cos2x+

1

2

），定義函數(shù)f（x）=

a

•（

a

-

b

）
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，角A為銳角，且A+B=

7π

12

，f(A)=1，BC=2，求邊AC的長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據(jù)向量的減法運算求出

a

-

b

，根據(jù)題中的新定義及平面向量的數(shù)量積的運算法則表示出f（x），然后利用二倍角的正弦函數(shù)公式及兩角和的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，然后利用周期公式T=

2π

λ

即可求出f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）根據(jù)f（A）=1，由第一問求出的f（x）的解析式，根據(jù)A的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)，再根據(jù)A+B的度數(shù)求出B的度數(shù)，由已知的BC，sinA及sinB的值，利用正弦定理即可求出AC的值．

解答：解：（Ⅰ） f(x)=

a

•( 

a

-

b

)=cosx•sinx+

cos2x+1

2

=

1

2

(sin2x+cos2x+1)=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

∴T=

2π

2

=π；（6分）
（Ⅱ）由f（A）=1得

2

2

sin(2A+

π

4

)+

1

2

=1，
∴sin(2A+

π

4

)=

2

2

且2A+

π

4

∈(

π

4

，

5π

4

)，
∴2A+

π

4

=

3π

4

，解得A=

π

4

，
又∵A+B=

7π

12

，∴B=

π

3

，（10分）
在△ABC中，由正弦定理得：

BC

sinA

=

AC

sinB

，
∴AC=

BCsinB

sinA

=

6

．（12分）

點評：此題綜合考查了三角函數(shù)的恒等變換，正弦定理及平面向量的數(shù)量積運算．函數(shù)周期的求法是把函數(shù)化為一個角的三角函數(shù)，然后利用周期公式求出．熟練掌握三角函數(shù)公式及平面向量的運算法則是解本題的關(guān)鍵．