Question

【題目】已知函數(shù)f（x）定義在區(qū)間（﹣1，1）內(nèi)，對于任意的x，y∈（﹣1，1）有f（x）+f（y）=f（ ），且當x＜0時，f（x）＞0．
（1）判斷這樣的函數(shù)是否具有奇偶性和單調(diào)性，并加以證明；
（2）若f（﹣ ）=1，求方程f（x）+ =0的解．

Answer 1

【答案】
（1）解：令x=y=0，則f（0）=0，令y=﹣x，則f（x）+f（﹣x）=0，

即f（﹣x）=﹣f（x），即函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．

任取x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，則f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）=f（ ）．

﹣1＜x1＜x2＜1，可得﹣1＜x1x2＜，則 ＜10，則f（ ）＞0，

即f（x1）＞f（x2）．則f（x）在區(qū)間（﹣1，1）內(nèi)是減函數(shù)

（2）解：f（x）為奇函數(shù)，則f（ ）=﹣1，

又2f（x）=f（x）+f（x）=f（ ），且f（x）+ =0，

即2f（x）+1=0，2f（x）=﹣1．則f（ ）=f（ ）．

f（x）在區(qū)間（﹣1，1）內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，

可得 = ．

即x=2﹣ 或x=2+ （舍）．

故方程的解為2﹣

【解析】（1）分別令x=y=0，求得f（0）=0，令y=﹣x，結(jié)合奇偶性定義即可判斷；再由單調(diào)性的定義，即可得到f（x）在區(qū)間（﹣1，1）內(nèi)是減函數(shù)；（2）運用奇函數(shù)的定義，可令y=x，結(jié)合單調(diào)性，可得方程 = ，即可得到方程的解．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數(shù)單調(diào)性的判斷方法(單調(diào)性的判定法：①設x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較)，還要掌握函數(shù)的奇偶性(偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關于原點對稱)的相關知識才是答題的關鍵．