Question

已知a＞0,a≠1,設(shè)P:函數(shù)y=log_a（x+1）在x∈（0,+∞）內(nèi)單調(diào)遞減；Q:曲線y=x²+（2a-3）x+1與x軸交于不同的兩點(diǎn).如果P和Q有且只有一個(gè)正確,求a的取值范圍.

Answer 1

思路分析：本題是函數(shù)與命題的綜合題，涉及到函數(shù)的單調(diào)性和一元二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程的根的問(wèn)題，P和Q有且只有一個(gè)正確，應(yīng)分兩種情況討論分析.

解：當(dāng)0＜a＜1時(shí),函數(shù)y=log_a（x+1）在（0,+∞）內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)a＞1時(shí),y=log_a（x+1）在（0,+∞）內(nèi)不是單調(diào)遞減.曲線y=x²+（2a-3）x+1與x軸交于兩點(diǎn)等價(jià)于（2a-3）²-4＞0,即或.

（1）若P正確,且Q不正確,即函數(shù)y=log_a（x+1）在（0,+∞）內(nèi)單調(diào)遞減,曲線y=x²+（2a-3）x+1與x軸不交于兩點(diǎn),因此a∈（0,1）∩（［,1）∪（1,］）,即a∈［,1）.

（2）若P不正確,且Q正確,即函數(shù)y=log_a（x+1）在（0,+∞）內(nèi)不是單調(diào)遞減,曲線y=x²+（2a-3）x+1與x軸交于兩點(diǎn),因此a∈（1,+∞）∩（（0,）∪（,+∞））,即a∈（,+∞）.

    綜上,a的取值范圍為［,1）∪（,+∞）.