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        1. 下列不等式
          ①已知a>0,b>0,則(a+b)(
          1
          a
          +
          1
          b
          )≥4

          ②a2+b2+3>2a+2b;
          ③已知m>0,則
          b
          a
          b+m
          a+m
          ;
          a-1
          +
          a+1
          <2
          a
          (a>1)

          其中恒成立的是
          ①②④
          ①②④
          .(把所有成立不等式的序號(hào)都填上)
          分析:逐個(gè)判斷:選項(xiàng)①由基本不等式可證;選項(xiàng)②可通過作差然后配方來證明;選項(xiàng)③可舉反例說明不對(duì);選項(xiàng)④可通過平方作差法證明.
          解答:解:選項(xiàng)①∵a>0,b>0,∴(a+b)(
          1
          a
          +
          1
          b
          )
          =2+
          b
          a
          +
          a
          b
          ≥2+2
          b
          a
          a
          b
          =4,
          當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào),故(a+b)(
          1
          a
          +
          1
          b
          )≥4
          成立;
          選項(xiàng)②,∵a2+b2+3-(2a+2b)=a2-2a+1+b2-2b+1+1=(a-1)2+(b-1)2+1≥1
          ∴a2+b2+3>2a+2b恒成立;
          選項(xiàng)③,∵
          b
          a
          -
          b+m
          a+m
          =
          b(a+m)-a(b+m)
          a(a+m)
          =
          m(b-a)
          a(a+m)
          ,∴當(dāng)a=b時(shí),式子為0,
          b
          a
          b+m
          a+m
          不一定成立;
          選項(xiàng)④,∵a>1,∴(
          a-1
          +
          a+1
          2-(2
          a
          2=a-1+a+1+2
          a2-1
          -4a=2(
          a2-1
          -a

          a2-1
          -a<0
          ,因?yàn)閍2-1-a2=-1<0,故
          a-1
          +
          a+1
          <2
          a
          成立.
          故答案為:①②④
          點(diǎn)評(píng):本題為不等式的證明,涉及基本不等式和作差法比較大小,屬基礎(chǔ)題.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          x
          x2+1

          (1)求出函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間;
          (2)當(dāng)x∈(-
          3
          4
          ,+∞)
          時(shí),證明函數(shù)y=f(x)圖象在點(diǎn)(
          1
          3
          ,
          3
          10
          )
          處切線的下方;
          (3)利用(2)的結(jié)論證明下列不等式:“已知a,b,c∈(-
          3
          4
          ,+∞)
          ,且a+b+c=1,證明:
          a
          a2+1
          +
          b
          b2+1
          +
          c
          c2+1
          9
          10
          ”;
          (4)已知a1,a2,…,an是正數(shù),且a1+a2+…+an=1,借助(3)的證明猜想
          n
          k=1
          ak
          a
          2
          k
          +1
          的最大值.(只指出正確結(jié)論,不要求證明)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:成功之路·突破重點(diǎn)線·數(shù)學(xué)(學(xué)生用書) 題型:013

          已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0),α、β為方程f(x)=x的兩根,且0<α<β<,0<x<a,給出下列不等式:

          ①x<f(x) ②a<f(x)、踴>f(x)、躠>f(x)

          其中成立的是

          [  ]

          A.①④
          B.②③
          C.①②
          D.③④

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:022

          有下列命題:

          ①已知ab為實(shí)數(shù),若a24b0,則x2axb0有非空實(shí)數(shù)解集.

          ②當(dāng)2m10時(shí),如果0,那么m>-4

          ③若a,b是整數(shù),則關(guān)于x的方程x2axb0有兩整數(shù)根.

          ④若ab都不是整數(shù),則方程x2axb0無兩整數(shù)根.

          ⑤當(dāng)2m10時(shí),如果m≤-4,則0

          ⑥已知ab為實(shí)數(shù),若x2axb0有非空實(shí)數(shù)解,則a24b0

          ⑦若方程x2axb0沒有兩整數(shù)根,則a不是整數(shù)或b不是整數(shù).

          ⑧已知a、b為實(shí)數(shù),若a24b0,則關(guān)于x的不等式x2axb0的解集為空集.

          ⑨當(dāng)2m10時(shí),如果m>-4,則0

          用序號(hào)表示上述命題間的關(guān)系(例(1)與(9)互為逆否命題):其中(1___________是互為逆命題;(2___________互為否命題;(3___________互為逆否命題

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:數(shù)學(xué)教研室 題型:022

          有下列命題:

          ①已知a,b為實(shí)數(shù),若a24b0,則x2axb0有非空實(shí)數(shù)解集.

          ②當(dāng)2m10時(shí),如果0,那么m>-4

          ③若a,b是整數(shù),則關(guān)于x的方程x2axb0有兩整數(shù)根.

          ④若a、b都不是整數(shù),則方程x2axb0無兩整數(shù)根.

          ⑤當(dāng)2m10時(shí),如果m≤-4,則0

          ⑥已知a,b為實(shí)數(shù),若x2axb0有非空實(shí)數(shù)解,則a24b0

          ⑦若方程x2axb0沒有兩整數(shù)根,則a不是整數(shù)或b不是整數(shù).

          ⑧已知a、b為實(shí)數(shù),若a24b0,則關(guān)于x的不等式x2ax+b0的解集為空集.

          ⑨當(dāng)2m10時(shí),如果m>-4,則0

          用序號(hào)表示上述命題間的關(guān)系(例(1)與(9)互為逆否命題):其中(1___________是互為逆命題;(2___________互為否命題;(3___________互為逆否命題

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2009-2010學(xué)年江蘇省淮安市清江中學(xué)高二(上)期末數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

          已知函數(shù)
          (1)求出函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間;
          (2)當(dāng)時(shí),證明函數(shù)y=f(x)圖象在點(diǎn)處切線的下方;
          (3)利用(2)的結(jié)論證明下列不等式:“已知,且a+b+c=1,證明:”;
          (4)已知a1,a2,…,an是正數(shù),且a1+a2+…+an=1,借助(3)的證明猜想的最大值.(只指出正確結(jié)論,不要求證明)

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          同步練習(xí)冊(cè)答案