Question

已知圓M：（x-1）²+y²=9，直線l：y=x-m
（1）當(dāng)直線l與圓M相切時，求m的值．
（2）當(dāng)直線l與圓M相交于P，Q兩點，且|PQ|=2

7

，求直線l在y軸上的截距．
（3）當(dāng)直線l與圓M相交于P，Q兩點，若在x軸上存在一點R，恰好以PQ為直徑的圓過R點，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）圓M：（x-1）²+y²=9的圓心M（1，0），半徑為r=3，x-y-m=0，由直線l與圓M相切，能求出m的值．
（2）設(shè)圓心M到直線l的距離為d，則d=

r2-( |PQ| 2 )2

=

9-7

=

2

，由點到直線的距離公式能求出直線l在y軸上的截距．
（3）設(shè)點P、Q的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），R（x₀，0），因為以PQ為直徑的圓過R點，所以RP⊥RQ，得（x₁-x₀）（x₂-x₀）+y₁y₂=0，故2x₁x₂-（x₁+x₂）（x₀+m）+x₀²+m²=0，由

y=x-m (x-1)2+y2=9

?2x2-2(m+1)x+m2-8=0，再利用韋達(dá)定理和根與系數(shù)的關(guān)系進行求解．

解答：解：（1）圓M：（x-1）²+y²=9的圓心M（1，0），半徑為r=3
又y=x-m，∴x-y-m=0，
∵直線l與圓M相切，
∴

|1-m|

2

=3，∴m=1±3

2

（2）設(shè)圓心M到直線l的距離為d，則d=

r2-( |PQ| 2 )2

=

9-7

=

2

∴

|1-m|

2

=

2

，∴m=3，或m=-1，
所以直線l在y軸上的截距為-3或1
（3）設(shè)點P、Q的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），，R（x₀，0），
因為以PQ為直徑的圓過R點∴RP⊥RQ，
得kRPkRQ=-1，即

y1y2

(x1-x0)(x2-x0)

=-1?（x₁-x₀）（x₂-x₀）+y₁y₂=0?（x₁-x₀）（x₂-x₀）+（x₁-m）（x₂-m）=0?2x₁x₂-（x₁+x₂）（x₀+m）+x₀²+m²=0（1）
由

y=x-m (x-1)2+y2=9

?2x2-2(m+1)x+m2-8=0
所以x1+x2=m+1，x1x2=

m2-8

2

(2)，
△=4（m+1）²-8（m²-8）＞0?-3＜m＜5
將（2）代入（1）整理得x₀²-（m+1）x₀+m²-m-8=0
所以△x0=(m+1)2-4(m2-m-8)≥0?1-2

3

≤m≤1+2

3

適合-3＜m＜5，
所以1-2

3

≤m≤1+2

3

點評：本題考查圓的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意根與系數(shù)的關(guān)系的靈活運用．