Question

【題目】正方體的棱長(zhǎng)為1，分別為的中點(diǎn)．則（ ）

A.直線與直線垂直B.直線與平面平行

C.平面截正方體所得的截面面積為D.點(diǎn)和點(diǎn)到平面的距離相等

Answer 1

【答案】BC

【解析】

利用向量法判斷異面直線所成角；利用面面平行證明線面平行；作出正方體的截面為等腰梯形，求其面積即可；利用等體積法處理點(diǎn)到平面的距離.

對(duì)選項(xiàng)A：（方法一）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在的直線分別為、、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、.從而，，從而，所以與直線不垂直，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

（方法二）取的中點(diǎn)，連接，則為直線在平面內(nèi)的射影，與不垂直，從而與也不垂直，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

取的中點(diǎn)為，連接、，則，，易證，從而，選項(xiàng)B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C，連接，，易知四邊形為平面截正方體所得的截面四邊形（如圖所示），且，，所以，而，從而選項(xiàng)C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：（方法一）由于，而，而，，所以，即，點(diǎn)到平面的距離為點(diǎn)到平面的距離的二倍.從而D錯(cuò)誤.

（方法二）假設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等，即平面將平分，則平面必過的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，易知不是的中點(diǎn)，故假設(shè)不成立，從而選項(xiàng)D錯(cuò)誤.