Question

已知a為實(shí)數(shù)，x=4是函數(shù)f（x）=alnx+x²-12x的一個(gè)極值點(diǎn)．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若直線y=b與函數(shù)y=f（x）的圖象有且僅有3個(gè)交點(diǎn)，求b的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=alnx+x²-12x，
∴f′（x）=

a

x

+2x-12，
∵x=4是函數(shù)f（x）=alnx+x²-12x的一個(gè)極值點(diǎn)，
∴f′（4）=0，得

a

4

+8-12=0，得a=16；
（Ⅱ）當(dāng)a=16時(shí)，f（x）=16lnx+x²-12x，f′（x）=

16

x

+2x-12=

2(x-2)(x-4)

x

，


當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，可得x＞4或者0＜x＜2；
當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，可得2＜x＜4；
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：（4，+∞），（0，2）；
函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為：（2，4）；
（Ⅲ）直線y=b與函數(shù)y=f（x）的圖象有且僅有3個(gè)交點(diǎn)，f（4）=16ln4-32，f（2）=16ln2-20，
由（Ⅱ）知f（x）在x=2出去極大值，在x=4出取極小值，
畫出f（x）的草圖：
直線y=b與函數(shù)y=f（x）的圖象有且僅有3個(gè)交點(diǎn)，
∴直線y=b必須在直線l和直線n之間，
∴f（4）＜b＜f（2），
即161n4-32＜b＜16ln2-20，；