Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）過原點(diǎn)作函數(shù)的切線,求的方程;

（Ⅱ）若對于任意恒成立,試確定實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)直線與函數(shù)相切于點(diǎn),得切線方程，代入(0,0)即可得解；

（Ⅱ）“對于任意恒成立”,等價(jià)于“對于任意恒成立”,等價(jià)于“”, 設(shè),求導(dǎo)討論函數(shù)單調(diào)性求最值即可.

試題解析：

（Ⅰ）設(shè)直線與函數(shù)相切于點(diǎn),

因?yàn)?/span>,則,

則切線的方程為,

因?yàn)?/span>過原點(diǎn),代入上式可得

,即,

所以切線的方程為.

（Ⅱ）“對于任意恒成立”,等價(jià)于“對于任意恒成立”,等價(jià)于“”,

設(shè),

則,

①當(dāng)時(shí), 恒成立,滿足題意;

②當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞增,

由于,不合題意;

③當(dāng)時(shí),令得,

令得,

所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,

,

則,

又,所以,

解得,

綜上所述, 的取值范圍為.