Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-x²+x+2
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若a＞0，求f（x）在區(qū)間（0，a]上的最大值；
（III）設(shè)函數(shù)g（x）=x³-（1+2e）x²+（m+1）x+2，（m∈R），試討論函數(shù)f（x）與g（x）圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1）；單調(diào)遞減區(qū)間是（1，+∞），對(duì)a分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)在區(qū)間（0，a]上的最大值；
（Ⅲ）討論函數(shù)f（x）與g（x）圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即討論方程f（x）=g（x）在（0，+∞）上根的個(gè)數(shù)，該方程為lnx-x²+x+2=x³-（1+2e）x²+（m+1）x+2，即lnx=x³-2ex²+mx，只需討論方程

lnx

x

=x2-2ex+m在（0，+∞）上根的個(gè)數(shù)．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx-x²+x+2，其定義域?yàn)椋?，+∞）．（1分）
∴f′(x)=

-(2x+1)(x-1)

x

．（2分）
∵x＞0，∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0．
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1）；單調(diào)遞減區(qū)間是（1，+∞）．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1）；單調(diào)遞減區(qū)間是（1，+∞）．
當(dāng)0＜a≤1時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，a]上單調(diào)遞增，f（x）的最大值f（x）_max=f（a）=lna-a²+a+2；
當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，a）上單調(diào)遞減，則f（x）在x=1處取得極大值，也即該函數(shù)在（0，a]上的最大值，此時(shí)f（x）的最大值f（x）_max=f（1）=2；
∴f（x）在區(qū)間（0，a]上的最大值f(x)=

lna-a2+a+2，0＜a≤1 2，a＞1

…（8分）
（Ⅲ）討論函數(shù)f（x）與g（x）圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即討論方程f（x）=g（x）在（0，+∞）上根的個(gè)數(shù)．
該方程為lnx-x²+x+2=x³-（1+2e）x²+（m+1）x+2，即lnx=x³-2ex²+mx．
只需討論方程

lnx

x

=x2-2ex+m在（0，+∞）上根的個(gè)數(shù)，…（9分）
令u（x）=

lnx

x

（x＞0），v（x）=x²-2ex+m．
因u（x）=

lnx

x

（x＞0），u′（x）=

1-lnx

x2

，令u′（x）=0，得x=e，
當(dāng)x＞e時(shí)，u′（x）＜0；當(dāng)0＜x＜e時(shí)，u′（x）＞0，∴u（x）_max=u（e）=

1

e

，
當(dāng)x→0⁺時(shí)，u（x）=

lnx

x

→-∞； 當(dāng)x→+∞時(shí)，

lnx

x

→0，但此時(shí)u（x）＞0，且以x軸為漸近線．
如圖構(gòu)造u（x）=

lnx

x

的圖象，并作出函數(shù)v（x）=x²-2ex+m的圖象．
①當(dāng)m-e²＞

1

e

，即m＞e2+

1

e

時(shí)，方程無根，沒有公共點(diǎn)；
②當(dāng)m-e2=

1

e

，即m=e2+

1

e

時(shí)，方程只有一個(gè)根，有一個(gè)公共點(diǎn)；
③當(dāng)m-e2＜

1

e

，即m＜e2+

1

e

時(shí)，方程有兩個(gè)根，有兩個(gè)公共點(diǎn)．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查函數(shù)圖象的交點(diǎn)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，綜合性強(qiáng)，難度大．