Question

以正方形ABCD的相對頂點(diǎn)A、C為焦點(diǎn)的橢圓，恰好過正方形四邊的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為    ；設(shè)F₁和F₂為雙曲線（a＞0，b＞0）的兩個焦點(diǎn)，若F₁，F(xiàn)₂，P（0，2b）是正三角形的三個頂點(diǎn)，則雙曲線的離心率為    ；經(jīng)過拋物線y=的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，若y₁+y₂=5，則線段AB的長等于    ．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)正方形邊長為2，設(shè)正方形中心為原點(diǎn)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，則可知c，的a和b的關(guān)系式，進(jìn)而求得BC的中點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，得到a和b的另一關(guān)系式，最后聯(lián)立求得a，則橢圓的離心率可得；畫出圖形，可得=，從而可求雙曲線的離心率；利用拋物線的定義，即可確定AB的長．
解答：解：設(shè)正方形邊長為2，設(shè)正方形中心為原點(diǎn)
則橢圓方程為
且c=
∴a²-b²=c²=2①
正方形BC邊的中點(diǎn)坐標(biāo)為（，）
代入方程得到②
聯(lián)立①②解得a=
∴e==；
如圖，∵=tan60°，
∴=，
∴4b²=3c²，
∴4（c²-a²）=3c²，
∴c²=4a²，
∴e==2；
經(jīng)過拋物線y=的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，則|AB|=y₁+y₂+2
∵y₁+y₂=5，∴|AB|=7
故答案為：，2，7．
點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓、雙曲線的簡單性質(zhì)，考查拋物線的定義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．