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          如果兩個橢圓的離心率相等，那么就稱這兩個橢圓相似．已知橢圓C與橢圓相似，且橢圓C的一個短軸端點是拋物線的焦點．
          

          (Ⅰ)試求橢圓C的標準方程；
          

          (Ⅱ)設(shè)橢圓E的中心在原點，對稱軸在坐標軸上，直線l∶y＝kx＋t(k≠0，t≠0)與橢圓C交于A，B兩點，且與橢圓E交于H，K兩點．若線段AB與線段HK的中點重合，試判斷橢圓C與橢圓E是否為相似橢圓？并證明你的判斷．
          

          

          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				答案：
          解析：
          

          　　解析：(Ⅰ)橢圓的離心率為　1分
          

          　　拋物線的焦點為．　2分
          

          　　設(shè)橢圓的方程為，
          

          　　由題意，得：　，解得，
          

          　　∴橢圓的標準方程為 ．　5分
           

          　　(Ⅱ)解法一：橢圓與橢圓是相似橢圓．　6分
          

          　　聯(lián)立橢圓和直線的方程，，消去，
          

          　　得，　7分
          

          　　設(shè)的橫坐標分別為，則．　8分
          

          　　設(shè)橢圓的方程為，　9分
          

          　　聯(lián)立方程組，消去，得，
          

          　　設(shè)的橫坐標分別為，則．　10分
          

          　　∵弦的中點與弦的中點重合，　11分
          

          　　∴，，
          

          　　∵，∴化簡得，　11分
          

          　　求得橢圓的離心率，　12分
          

          　　∴橢圓與橢圓是相似橢圓．
          

          　　解法二：設(shè)橢圓的方程為，
          

          　　并設(shè)．
          

          　　∵在橢圓上，
          

          　　∴且，兩式相減變恒等變形得．　7分
          

          　　由在橢圓上，仿前述方法可得．　10分
          

          　　∵弦的中點與弦的中點重合，
          

          　　∴，　12分
          

          　　求得橢圓的離心率，　10分
          

          　　∴橢圓與橢圓是相似橢圓．
          


          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
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				相關(guān)習題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a＞b＞0)          的左焦點為F1（-c，0），點A（-a，0）和B（0，b）是橢圓的兩個頂點，如果F1到直線AB的距離為
          b
          		7
          ，則橢圓的離心率e=
          1
          2
          1
          2
          ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2012•泉州模擬）如果兩個橢圓的離心率相等，那么就稱這兩個橢圓相似．已知橢圓C與橢圓Γ：
          x2
          8
          +
          y2
          4
          =1          相似，且橢圓C的一個短軸端點是拋物線y=
          1
          4
          x2          的焦點．
          （Ⅰ）試求橢圓C的標準方程；
          （Ⅱ）設(shè)橢圓E的中心在原點，對稱軸在坐標軸上，直線l：y=kx+t（k≠0，t≠0）與橢圓C交于A，B兩點，且與橢圓E交于H，K兩點．若線段AB與線段HK的中點重合，試判斷橢圓C與橢圓E是否為相似橢圓？并證明你的判斷．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：2012-2013學年甘肅省高三上學期期末考試理科數(shù)學試卷（解析版）
				題型：解答題
			
          

						
          （本小題滿分12分）

          


          如果兩個橢圓的離心率相等，那么就稱這兩個橢圓相似.已知橢圓與橢圓相似，且橢圓的一個短軸端點是拋物線的焦點.
          


          （Ⅰ）試求橢圓的標準方程；
          


          （Ⅱ）設(shè)橢圓的中心在原點，對稱軸在坐標軸上，直線與橢圓交于兩點，且與橢圓交于兩點.若線段與線段的中點重合，試判斷橢圓與橢圓是否為相似橢圓？并證明你的判斷.
          


           
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：2011-2012學年福建省泉州市高三第二次質(zhì)量檢測數(shù)學試卷（理科）（解析版）
				題型：解答題
			
          

						
          如果兩個橢圓的離心率相等，那么就稱這兩個橢圓相似．已知橢圓C與橢圓相似，且橢圓C的一個短軸端點是拋物線的焦點．
          （Ⅰ）試求橢圓C的標準方程；
          （Ⅱ）設(shè)橢圓E的中心在原點，對稱軸在坐標軸上，直線l：y=kx+t（k≠0，t≠0）與橢圓C交于A，B兩點，且與橢圓E交于H，K兩點．若線段AB與線段HK的中點重合，試判斷橢圓C與橢圓E是否為相似橢圓？并證明你的判斷．
          

			
          

			
          
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