Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為別為F1、F2，且過點(diǎn)和．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）如圖，點(diǎn)A為橢圓上一位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn)，AF2的延長(zhǎng)線與橢圓交于點(diǎn)B，AO的延長(zhǎng)線與橢圓交于點(diǎn)C，求△ABC面積的最大值，并寫出取到最大值時(shí)直線BC的方程．

Answer 1

【答案】（1） （2）y=

【解析】

（1）將兩點(diǎn)代入橢圓方程，求出a，b，然后求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

（2）設(shè)AF2的方程為x=ty+1，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式，點(diǎn)到直線的距離求解三角形的面積結(jié)合基本不等式求解最值，然后求解BC的方程即可．

解：（1）將兩點(diǎn)代入橢圓方程，有解得，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）因?yàn)?/span>A在x軸上方，可知AF2斜率不為0，故可以設(shè)AF2的方程為x=ty+1，，

得，所以，

設(shè)原點(diǎn)到直線AF2的距離為d，則，

所以S△ABC=2S△OAB

=

=

=，△ABC面積的最大值為．

在t=0時(shí)取到等號(hào)成立，此時(shí)AB的方程為：x=1，

可得，A（1，），B（1，-），C（-1，），

此時(shí)BC的方程為：y=，