Question

某居民小區(qū)內(nèi)建有一塊矩形草坪ABCD，AB=50米，BC=米，為了便于居民平時(shí)休閑散步，該小區(qū)物業(yè)管理公司將在這塊草坪內(nèi)鋪設(shè)三條小路OE、EF和OF，考慮到小區(qū)整體規(guī)劃，要求O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)F在邊AD上，且∠EOF=90°，如圖所示．
（1）設(shè)∠BOE=α，試將△OEF的周長(zhǎng)l表示成α的函數(shù)關(guān)系式，并求出此函數(shù)的定義域；
（2）經(jīng)核算，三條路每米鋪設(shè)費(fèi)用均為400元，試問(wèn)如何設(shè)計(jì)才能使鋪路的總費(fèi)用最低？并求出最低總費(fèi)用．

Answer 1

【答案】分析：（1）要將△OEF的周長(zhǎng)l表示成α的函數(shù)關(guān)系式，需把△OEF的三邊分別用含有α的關(guān)系式來(lái)表示，而OE，
OF，分別可以在Rt△OBE，Rt△OAF中求解，利用勾股定理可求EF，從而可求．
（2）要求鋪路總費(fèi)用最低，只要求△OEF的周長(zhǎng)l的最小值即可．由（1）得，，
利用換元，設(shè)sinα+cosα=t，則，從而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值．
解答：解：（1）∵在Rt△BOE中，OB=25，∠B=90°，∠BOE=α，
∴OE=
在Rt△AOF中，OA=25，∠A=90°，∠AFO=α，
∴OF=．
又∠EOF=90°，
∴EF═=，
∴
即．
當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)D時(shí)，這時(shí)角α最小，求得此時(shí)α=；
當(dāng)點(diǎn)E在C點(diǎn)時(shí)，這時(shí)角α最大，求得此時(shí)α=．
故此函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101222149977370308/SYS201311012221499773703016_DA/11.png">
（2）由題意知，要求鋪路總費(fèi)用最低，只要求△OEF的周長(zhǎng)l的最小值即可．
由（1）得，，
設(shè)sinα+cosα=t，則，
∴
由t=sinα+cosα=，又，得，
∴，
從而，當(dāng)，即BE=25時(shí)，，
所以當(dāng)BE=AF=25米時(shí)，鋪路總費(fèi)用最低，最低總費(fèi)用為元．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了借助于三角函數(shù)解三角形在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，考查了利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，及推理運(yùn)算的能力．