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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
          精英家教網某居民小區(qū)內建有一塊矩形草坪ABCD,AB=50米,BC=25
          3
          米,為了便于居民平時休閑散步,該小區(qū)物業(yè)管理公司將在這塊草坪內鋪設三條小路OE、EF和OF,考慮到小區(qū)整體規(guī)劃,要求O是AB的中點,點E在邊BC上,點F在邊AD上,且∠EOF=90°,如圖所示.
          (1)設∠BOE=α,試將△OEF的周長l表示成α的函數關系式,并求出此函數的定義域;
          (2)經核算,三條路每米鋪設費用均為400元,試問如何設計才能使鋪路的總費用最低?并求出最低總費用.
          分析:(1)要將△OEF的周長l表示成α的函數關系式,需把△OEF的三邊分別用含有α的關系式來表示,而OE,
          OF,分別可以在Rt△OBE,Rt△OAF中求解,利用勾股定理可求EF,從而可求.
          (2)要求鋪路總費用最低,只要求△OEF的周長l的最小值即可.由(1)得,l=
          25(sinα+cosα+1)
          cosαsinα
          ,α∈[
          π
          6
          π
          3
          ]

          利用換元,設sinα+cosα=t,則sinα•cosα=
          t2-1
          2
          ,從而轉化為求函數在閉區(qū)間上的最小值.
          解答:解:(1)∵在Rt△BOE中,OB=25,∠B=90°,∠BOE=α,
          ∴OE=
          25
          cosα

          在Rt△AOF中,OA=25,∠A=90°,∠AFO=α,
          ∴OF=
          25
          sinα

          又∠EOF=90°,
          ∴EF═
          OE2+OF2
          =
          (
          25
          cosα
          )
          2
          +(
          25
          sinα
          )
          2
          =
          25
          cosαsinα
          ,
          l=OE+OF+EF=
          25
          cosα
          +
          25
          sinα
          +
          25
          cosαsinα

          l=
          25(sinα+cosα+1)
          cosαsinα

          當點F在點D時,這時角α最小,求得此時α=
          π
          6

          當點E在C點時,這時角α最大,求得此時α=
          π
          3

          故此函數的定義域為[
          π
          6
          ,
          π
          3
          ]

          (2)由題意知,要求鋪路總費用最低,只要求△OEF的周長l的最小值即可.
          由(1)得,l=
          25(sinα+cosα+1)
          cosαsinα
          α∈[
          π
          6
          ,
          π
          3
          ]

          設sinα+cosα=t,則sinα•cosα=
          t2-1
          2
          ,
          l=
          25(sinα+cosα+1)
          cosαsinα
          =
          25(t+1)
          t2-1
          2
          =
          50
          t-1

          由t=sinα+cosα=
          2
          sin(α+
          π
          4
          )
          ,又
          12
          ≤α+
          π
          4
          12
          ,得
          3
          +1
          2
          ≤t≤
          2
          ,
          3
          -1
          2
          ≤t-1≤
          2
          -1

          從而
          2
          +1≤
          1
          t-1
          3
          +1
          ,當α=
          π
          4
          ,即BE=25時,lmin=50(
          2
          +1)
          ,
          所以當BE=AF=25米時,鋪路總費用最低,最低總費用為20000(
          2
          +1)
          元.
          點評:本題主要考查了借助于三角函數解三角形在實際問題中的應用,考查了利用數學知識解決實際問題的能力,及推理運算的能力.
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