Question

已知：橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），過(guò)點(diǎn)A（-a，0），B（0，b）的直線傾斜角為

π

6

，原點(diǎn)到該直線的距離為

3

2

．
（1）求橢圓的方程；
（2）斜率大于零的直線過(guò)D（-1，0）與橢圓交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，若

ED

=2

DF

，求直線EF的方程；
（3）對(duì)于D（-1，0），是否存在實(shí)數(shù)k，直線y=kx+2交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，且|DP|=|DQ|？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由直線AB的傾斜角，可知斜率；由S_△OAB的面積公式，可得a，b的值；從而得橢圓的方程．
（2）直線EF過(guò)點(diǎn)D（-1，0），可設(shè)為x=my-1（m＞0）代入橢圓方程，可得關(guān)于y的方程；設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），由

ED

=2

DF

，可得y₁、y₂的關(guān)系；由y₁+y₂，y₁y₂，從而得m的值，以及直線EF的方程．
（3）設(shè)點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），把y=kx+2代入橢圓方程，得關(guān)于x的方程（*）；x₁，x₂是此方程的兩個(gè)相異實(shí)根．設(shè)PQ的中點(diǎn)為M，可表示x_M，y_M；由|DP|=|DQ|，可得DM⊥PQ，從而得k_DM的值，得k的值；驗(yàn)證方程（*）無(wú)兩相異實(shí)根，知滿足條件的k不存在．

解答：解：（1）由

b

a

=

3

3

，

1

2

a•b=

1

2

•

3

2

•

a2+b2

，得a=

3

，b=1，
所以，橢圓方程為：

x2

3

+y2=1；
（2）設(shè)直線EF的方程為：x=my-1（m＞0），代入

x2

3

+y2=1，得（m²+3）y²-2my-2=0，
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），由

ED

=2

DF

，得y₁=-2y₂．
由y1+y2=-y2=

2m

m2+3

，y1y2=-2y22=

-2

m2+3

；
得(-

2m

m2+3

)2=

1

m2+3

，∴m=1，m=-1（舍去），所以，直線EF的方程為：x=y-1，即x-y+1=0．
（3）記P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），將y=kx+2代入

x2

3

+y2=1，
得（3k²+1）x²+12kx+9=0（*），x₁，x₂是此方程的兩個(gè)相異實(shí)根．
設(shè)PQ的中點(diǎn)為M，則xM=

x1+x2

2

=-

6k

3k2+1

，yM=kxM+2=

2

3k2+1

；
由|DP|=|DQ|，得DM⊥PQ，∴kDM=

yM

xM+1

=

2 3k2+1

6k 3k2+1 +1

=-

1

k

，∴3k²-4k+1=0，得k=1或k=

1

3

．
但k=1，k=

1

3

均使方程（*）沒(méi)有兩相異實(shí)根，∴滿足條件的k值不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與橢圓的綜合應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)靈活運(yùn)用了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，向量，根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)，是綜合性較強(qiáng)的題目．