Question

（本小題滿分12分）
設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為且方程有一根為，n=1,2,3…,試求的值，猜想的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明

Answer 1

由，
當(dāng)n=2時(shí)，由①得 ，
當(dāng)n=3時(shí)，由①得  ，
猜想  n="1,2,3…" 證明見解析。

本試題主要是考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和的表達(dá)式的求解和證明的綜合運(yùn)用。
（1）根據(jù)已知條件，對n令值，得到前幾項(xiàng)的和，然后歸納猜想。
（2）運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法加以證明，分為兩步驟，注意要用到假設(shè)。
證明：             
當(dāng)n=1時(shí)，  
當(dāng)n≥2時(shí)，，
代入（*）式得①            ……（3分）
當(dāng)n=2時(shí)，由①得    ……（4分）
當(dāng)n=3時(shí)，由①得    ……（5分）
可以看到上面表示的三個(gè)結(jié)果的分?jǐn)?shù)中，分子與項(xiàng)數(shù)一致，分母是項(xiàng)數(shù)加1，
由此猜想  n=1,2,3…             ……（6分）
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想：
（1）當(dāng)n=1時(shí)已知猜想成立                        ……（7分）
（2）假設(shè)n=k時(shí)猜想成立，即
則當(dāng)n=k+1時(shí)，由①得
這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也成立             ……（10分）
根據(jù)（1）和（2），可知對所有正整數(shù)n都成立  ……（12分）