Question

已知復(fù)數(shù)z=（a²-4sin²θ）+2（cosθ+1）i，其中a∈R⁺，θ∈（0，π），i為虛數(shù)單位，且z是方程x²+2x+2=0的一個根．
（1）求θ與a的值；
（2）若w=x+yi（x，y為實數(shù)），求滿足的點（x，y）表示的圖形的面積．

Answer 1

解：（1）∵z是方程x²+2x+2=0的一個根，∴也是此方程的一個根，
∴z+=-2，，
∴，又a∈R⁺，θ∈（0，π），解得．
即，．
（2）由（1）可得：z=-1+i．
∵==|1+i|=．
∴，
∴|（x-1）+yi|，∴，即（x-1）²+y²≤2．
∴點（x，y）在以（1，0）為圓心，為半徑的圓上．
∴點（x，y）表示的圖形的面積==2π．
分析：（1）利用實系數(shù)一元二次方程的虛根成對原理及根與系數(shù)的關(guān)系即可得出；
（2）利用復(fù)數(shù)的運算法則進行化簡和復(fù)數(shù)的模的計算公式及其幾何意義、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得出．
點評：熟練掌握實系數(shù)一元二次方程的虛根成對原理及根與系數(shù)的關(guān)系、復(fù)數(shù)的運算法則進行化簡和復(fù)數(shù)的模的計算公式及其幾何意義、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是解題的關(guān)鍵．