Question

等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知對(duì)任意的n∈N^*，點(diǎn)（n，S_n），均在函數(shù)y=b^x+r（b＞0）且b≠1，b，r均為常數(shù)）的圖象上．
（1）求r的值；
（2）當(dāng)b=2時(shí)，記b_n=

n+1

4an

（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）由“對(duì)任意的n∈N⁺，點(diǎn)（n，S_n），均在函數(shù)y=b^x+r（b＞0，且b≠1，b，r均為常數(shù)）的圖象上”可得到S_n=bⁿ+r，依次求出a₁、a₂、a₃，由等比數(shù)列的性質(zhì)（a₂）²=a₁×a₃，解可得答案．
（2）結(jié)合（1）可知a_n=（b-1）b^n-1=2^n-1，從而bn=

n+1

4an

=

n+1

4×2n-1

=

n+1

2n+1

，符合一個(gè)等差數(shù)列與等比數(shù)列相應(yīng)項(xiàng)之積的形式，用錯(cuò)位相減法求解即可．

解答：解：因?yàn)閷?duì)任意的n∈N⁺，點(diǎn)（n，S_n），均在函數(shù)y=b^x+r（b＞0，且b≠1，b，r均為常數(shù)）的圖象上．
所以得S_n=bⁿ+r，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=b+r，
a₂=S₂-S₁=b²+r-（b¹+r）=b²-b¹=（b-1）b，
a₃=S₃-S₂=b³+r-（b²+r）=b³-b²=（b-1）b²，
又因?yàn)閧a_n}為等比數(shù)列，所以（a₂）²=a₁×a₃，
解可得r=-1，
（2）當(dāng)b=2時(shí)，a_n=（b-1）b^n-1=2^n-1，bn=

n+1

4an

=

n+1

4×2n-1

=

n+1

2n+1

則T_n=

2

22

+

3

23

+

4

24

+…+

n+1

2n+1

1

2

Tn=

2

23

+

3

24

+

4

25

+…+

n

2n+1

+

n+1

2n+2

相減，得

1

2

Tn=

2

22

+

1

23

+

1

24

+

1

25

+…+

1

2n+1

-

n+1

2n+2

1

2

+

1 23 ×(1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

n+1

2n+2

=

3

4

-

1

2n+1

-

n+1

2n+2

所以Tn=

3

2

-

1

2n

-

n+1

2n+1

=

3

2

-

n+3

2n+1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列與函數(shù)的綜合運(yùn)用，主要涉及了數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和間的關(guān)系，錯(cuò)位相減法求和等問題，屬中檔題，是�？碱愋停�