Question

S_n是等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，對(duì)于任意正整數(shù)n，恒有S_n＞0，則等比數(shù)列{a_n}的公比q的取值范圍為

（-1，0）∪（0，+∞）

．

Answer 1

分析：易得a₁＞0，故只需

1-qn

1-q

＞0恒成立，下面分類(lèi)討論：（1）當(dāng)q＞1時(shí)，顯然成立；（2）當(dāng)q=1時(shí)，a₁＞0，S_n＞0一定成立；（3）當(dāng)q＜1時(shí)，需1-qⁿ＞0恒成立，再分當(dāng)0＜q＜1時(shí)，當(dāng)-1＜q＜0時(shí)，當(dāng)q＜-1時(shí)，當(dāng)q=-1時(shí)，綜合可得答案．

解答：解：q≠1時(shí)，有S_n=

a1(1-qn)

1-q

∵S_n＞0，∴a₁＞0，
則

1-qn

1-q

＞0恒成立，
（1）當(dāng)q＞1時(shí)，1-qⁿ＜0恒成立，即qⁿ＞1恒成立，
又q＞1，顯然成立，
（2）當(dāng)q=1時(shí)，只要a₁＞0，S_n＞0就一定成立．
（3）當(dāng)q＜1時(shí)，需1-qⁿ＞0恒成立，
當(dāng)0＜q＜1時(shí)，1-qⁿ＞0恒成立，
當(dāng)-1＜q＜0時(shí)，1-qⁿ＞0也恒成立，
當(dāng)q＜-1時(shí)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，1-qⁿ＞0不成立，
當(dāng)q=-1時(shí)，顯然1-qⁿ＞0也不可能恒成立，
所以q的取值范圍為（-1，0）∪（0，+∞）．
故答案為：（-1，0）∪（0，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列{a_n}的公比的取值范圍的求法，注意分類(lèi)討論思想的合理運(yùn)用，屬中檔題．