Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝（x﹣a）cosx﹣sinx，g（x）x3ax2，a∈R

（1）當(dāng)a＝1時(shí)，求函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（0，）上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）令F（x）＝f（x）+g（x），試討論函數(shù)y＝F（x）極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0，（2）無極值．

【解析】

（1）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和極值，即可得到本題答案；

（2）先求導(dǎo)，再分類討論，即可得到的單調(diào)區(qū)間和極值，由此即可得到本題答案.

（1）當(dāng)時(shí)，，

∴，

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，

所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，

所以函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0；

（2），

，

令，則，

所以在上為增函數(shù)，又，

所以當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，.

①若時(shí)，

當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞減，

故有2個(gè)極值；

②若時(shí)，

當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞減，

故有2個(gè)極值點(diǎn)；

③當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞增，

∴在R上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)．