Question

已知點(diǎn)的序列A_n（x_n，0），n∈N^*，其中x_l=0，x₂=a（a＞0），A₃是線(xiàn)段A_lA₂的中點(diǎn)，A₄是線(xiàn)段A₂A₃的中點(diǎn)，…，A_n是線(xiàn)段A_n-2A_n-1的中點(diǎn)，…．
（1）寫(xiě)出x_n與x_n-1、x_n-2之間的關(guān)系式（n≥3）；
（2）設(shè)a_n=x_n+1-x_n，計(jì)算a_l，a₂，a₃，由此推測(cè)數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，A_n是線(xiàn)段A_n-2A_n-1的中點(diǎn)，可得x_n與x_n-1、x_n-2之間的關(guān)系式，
（2）由題意知a₁=a，a₂=-

1

2

a，a₃=

1

4

a，由此推測(cè)：a_n=（-

1

2

）^n-1a（n∈N^*）再進(jìn)行證明．

解答：解：（1）根據(jù)題意，A_n是線(xiàn)段A_n-2A_n-1的中點(diǎn)，則有
當(dāng)n≥3時(shí)，x_n=

xn-1+xn-2

2

．
（2）a₁=x₂-x₁=a，a₂=x₃-x₂=

x2+x1

2

-x₂=-

1

2

（x₂-x₁）=-

1

2

a，
a₃=x₄-x₃=

x3+x2

2

-x₃=-

1

2

（x₃-x₂）=-

1

2

（-

1

2

a）=

1

4

a，
由此推測(cè)：a_n=（-

1

2

）^n-1a（n∈N^*）．
證明如下：因?yàn)閍₁=a＞0，且a_n=x_n+1-x_n=

xn+xn-1

2

-x_n=

xn-1-xn

2

=-

1

2

（x_n-x_n-1）
=-

1

2

a_n-1（n≥2），
所以a_n=（-

1

2

）^n-1a．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用．