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				（21）已知點的序列An（xn，0），n∈N，其中x1=0，x2＝a（a＞0），A3是線段A1A2的中點，A4是線段A2A3的中點，…，An是線段A n－2A n－1的中點，…. 
           
          （Ⅰ）寫出xn與x n－1、x n－2之間的關(guān)系式（n≥3）；
           
          （Ⅱ）設(shè)an＝x n＋1－xn，計算a1，a2，a3，由此推測數(shù)列｛an｝的通項公式，并加以證明；
            
          （Ⅲ）求xn.
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          （21）本題主要考查直線與橢圓等基礎(chǔ)知識，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識和方法分析解決問題的能力. 
          （Ⅰ）解：當n≥3時，xn＝.
          （Ⅱ）解：a1＝x2－x1＝a，
           
          a2＝x3－x2＝－x2＝－（x2－x1）＝－a，
           
          a3＝x4－x3＝－x3＝－（x3－x2）＝－（－a）＝（a）
           
          由此推測an＝（－）n－1a（n∈N）.
          證法一：
          因為a1＝a＞0，且
           
          an＝xn＋1－xn＝－xn
           
          ＝＝－（xn－xn－1）＝－an－1（n≥2），
           
          所以an＝（－）n－1（a）
          證法二：
          用數(shù)學(xué)歸納法證明：
          （i）當n=1時，a1=x2－x1=a=（）0a，公式成立.
           
          （ii）假設(shè)當n=k時，公式成立，即ak=()k－1a成立.
          那么當n＝k＋1時，
           
          ak＋1＝xk＋2－xk＋1＝－xk＋1＝－（xk＋1－xk）
           
          ＝－ak＝－（－）k－1a＝（－）（k＋1）－1a，公式仍成立.
           
          根據(jù)（i）與（ii）可知，對任意n∈N，公式an＝（－）n－1a成立.
          （Ⅲ）解：當n≥3時，有
           
          xn＝（xn－xn－1）＋（xn－1－xn－2）＋…＋（x2－x1）＋x1
           
          ＝an－1＋an－2＋…＋a1，
           
          由（Ⅱ）知｛an｝是公比為－的等比數(shù)列，
            
           
          所以xn＝（a）.

          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          （21）已知點的序列An（xn，0），n∈N，其中x1=0，x2＝a（a＞0），A3是線段A1A2的中點，A4是線段A2A3的中點，…，An是線段A n－2A n－1的中點，…. 
           
          （Ⅰ）寫出xn與x n－1、x n－2之間的關(guān)系式（n≥3）；
           
          （Ⅱ）設(shè)an＝x n＋1－xn，計算a1，a2，a3，由此推測數(shù)列｛an｝的通項公式，并加以證明；
            
          （Ⅲ）求xn.
          

			
          

			
          
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