Question

【題目】如圖所示的多面體是由一個直平行六面體被平面所截后得到的，其中， ， ．

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析; （Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）底面中，根據(jù)余弦定理求，三邊滿足勾股定理，所以，又根據(jù)原幾何體是直平行六面體，所以，也能證明，這樣就垂直了平面內(nèi)的兩條相交直線，所以線面垂直；（Ⅱ）以點為原點， 分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，根據(jù)公式.

試題解析：（Ⅰ）證明：在中，∵， ．

由余弦定理， ，

∵，

∴，

在直平行六面體中， 平面， 平面，∴，

又，

∴平面．

（Ⅱ）解：如圖以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，

∵， ，

∴， ， ， ，

， ， ，

設(shè)平面的法向量，

令，得， ，

∴，

設(shè)直線和平面的夾角為，

∴，

所以直線與平面所成角的正弦值為．