Question

已知點(diǎn)A(0，-2)、B(0,4)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足=y²-8．

(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程;

(Ⅱ)設(shè)(Ⅰ)中所求軌跡方程與直線y=x+b交于C、D兩點(diǎn)，且OC⊥OD(O為原點(diǎn))，求b的值．

Answer 1

解：(Ⅰ)由題意可得：

=(-x,-2-y)·(-x,4-y)=y²-8,

化簡(jiǎn)得  x²=2y 

(Ⅱ)將y=x+b代入x²=2y中，得x²=2(x+b).

整理得  x²-2x-2b=0.

可知，Δ=4+8b＞0.

x₁+x₂=2,x₁x₂=-2b.

∵y₁=x₁+b,y₂=x₂+b.

∴y₁y₂=(x₁+b)(x₂+b)=x₁x₂+b(x₁+x₂)+b²=b², 

∵OC⊥OD.

∴x₁x₂+y₁y₂=0.

即b²-2b=0（舍去）.

∴b=2或b=0（舍去）.

即b=2.