Question

在平面內(nèi)，已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，橢圓的離心率為，P點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，且|PF₁|+|PF₂|=4，
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）以橢圓的上頂點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)作橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形ABC，這樣的等腰直角三角形是否存在？若存在請(qǐng)說(shuō)明有幾個(gè)、并求出直角邊所在直線(xiàn)方程？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意得，由此能求出橢圓方程．
（2）設(shè)BA的直線(xiàn)方程為設(shè)y=kx+1，（不妨設(shè)k＞0）．由，得（1+4k²）x²+8kx=0，由此分別用k表示出AB和BC的長(zhǎng)，再由AB=BC，求出直角邊所在直線(xiàn)方程．
解答：解：（1）由題意得，∴，∴b=1，
∴方程為：．（5分）
（2）設(shè)BA的直線(xiàn)方程為設(shè)y=kx+1，（不妨設(shè)k＞0）
由，得（1+4k²）x²+8kx=0，
∴，（7分）
∴，
∴，
∴，
由AB=BC，得k（k²+4）=4k²+1，
即（k-1）（k²-3k+1）=0，即k=1或
所以，存在3個(gè)等腰直角三角形．
直角邊所在直線(xiàn)方程為．…（15分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查等腰直角三角形個(gè)數(shù)的判斷和直角邊所在直線(xiàn)方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．