Question

（2012•眉山一模）設(shè)函數(shù)f（x）對(duì)其定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x1與x2都有f(

x1+x2

2

)≥

f(x1)+f(x2)

2

，則稱函數(shù)f（x）為上凸函數(shù)． 若函數(shù)f（x）為上凸函數(shù)，則對(duì)定義域內(nèi)任意x₁、x₂、x₃，…，x_n都有f(

x1+x2+…+xn

n

)≥

f(x1)+f(x2)+…+f(xn)

n

（當(dāng)x₁=x₂=x₃=…=x_n時(shí)等號(hào)成立），稱此不等式為琴生不等式，現(xiàn)有下列命題：
①f（x）=lnx（x＞0）是上凸函數(shù)；
②二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）是上凸函數(shù)的充要條件是a＞0；
③f（x）是上凸函數(shù)，若A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））是f（x）圖象上任意兩點(diǎn)，點(diǎn)C在線段AB上，且

AC

=λ

CB

，則f(

x1+λx2

1+λ

)≥

f(x1)+λf(x2)

1+λ

；
④設(shè)A，B，C是一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角，則sinA+sinB+sinC的最大值是

3 3

2

．
其中，正確命題的序號(hào)是

①③④

（寫出所有你認(rèn)為正確命題的序號(hào)）．

Answer 1

分析：作圖可知①正確，②不正確．對(duì)于③，如圖，因?yàn)閒（x）上凸函數(shù)，則點(diǎn)C在點(diǎn)D的下方，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為

f(x1)+λf(x2)

1+λ

，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(

x1+λx2

1+λ

，f(

x1+λx2

1+λ

))，故f(

x1+λx2

1+λ

)≥f(

x1+λx2

1+λ

)．對(duì)于④，因?yàn)閒（x）=sinx在(0，

π

2

)上是凸函數(shù)，由琴生不等式知

3

2

≥

sinA+sinB+sinC

3

．

解答：解：作圖可知①正確，②不正確．
對(duì)于③，如圖，因?yàn)閒（x）上凸函數(shù)，則點(diǎn)C在點(diǎn)D的下方，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為

f(x1)+λf(x2)

1+λ

，
點(diǎn)D的坐標(biāo)為(

x1+λx2

1+λ

，f(

x1+λx2

1+λ

))，
于是得f(

x1+λx2

1+λ

)≥f(

x1+λx2

1+λ

)，即③正確．
對(duì)于④，因?yàn)閒（x）=sinx在(0，

π

2

)上是凸函數(shù)，
由琴生不等式知sin

A+B+C

3

≥

sinA+sinB+sinC

3

，
即

3

2

≥

sinA+sinB+sinC

3

，
所以sinA+sinB+sinC≤

3 3

2

，
當(dāng)A=B=C時(shí)，取④正確．
綜上所述，正確命題是①③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題真假的判斷與應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)形結(jié)合思想的靈活運(yùn)用，挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．