Question

已知點(diǎn)A（1，1）是橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓的兩焦點(diǎn)，且滿足|AF₁|+|AF₂|=4．
（I）求橢圓的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（II）設(shè)點(diǎn)B是橢圓上任意一點(diǎn)，如果|AB|最大時(shí)，求證A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O不對(duì)稱．

Answer 1

解：（I）由橢圓定義知：2a=4，
∴a=2
∴
把（1，1）代入得
∴
∴
故兩焦點(diǎn)坐標(biāo) 為．…（3分）
（II）用反證法：假設(shè)A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-1），
此時(shí)
取橢圓上一點(diǎn)
∴|AM＞|AB|．
從而此時(shí)|AB|不是最大，這與|AB|最大矛盾，所以命題成立． …（7分）
分析：（I）由橢圓定義知：2a=4，把（1，1）代入得求出b，根據(jù)進(jìn)一步求出兩焦點(diǎn)坐標(biāo)．
（II）用反證法：假設(shè)A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-1），此時(shí)；再取橢圓上一點(diǎn)得到|AM＞|AB|．即得證．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義及橢圓中三個(gè)參數(shù)的關(guān)系：c²=a²-b²；考查利用反證法證明命題，屬于中檔題．