Question

（2011•浙江模擬）已知函數(shù)f(x)=

-x3+x2，x＜1 alnx，     x≥1.

（Ⅰ）求f（x）在[-1，e]（e為自然對數(shù)的底數(shù)）上的最大值；
（Ⅱ）對任意給定的正實數(shù)a，曲線y=f（x）上是否存在兩點P，Q，使得POQ是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在y軸上？

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)分段函數(shù)，分類討論求最值，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得最值；
（Ⅱ）假設(shè)存在，設(shè)出P（t，f（t））（t＞0），利用

OP

•

OQ

=0，可得-t²+f（t）•（t³+t²）=0，是否存在點P，Q等價于方程是否有解，分類討論，即可得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）因為f(x)=

-x3+x2，x＜1 alnx，     x≥1.

①當-1≤x≤1時，f'（x）=-x（3x-2），解f'（x）＞0得到0＜x＜

2

3

；解f'（x）＜0得到-1＜x＜0或

2

3

＜x＜1．所以f（x）在（-1，0）和(

2

3

，1)上單調(diào)遞減，在(0，

2

3

)上單調(diào)遞增，
從而f（x）在x=

2

3

處取得極大值f(

2

3

)=

4

27

．…（3分），
又f（-1）=2，f（1）=0，所以f（x）在[-1，1）上的最大值為2．…（4分）
②當1≤x≤e時，f（x）=alnx，當a≤0時，f（x）≤0；當a＞0時，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
所以f（x）在[1，e]上的最大值為a．
所以當a≥2時，f（x）在[-1，e]上的最大值為a；當a＜2時，f（x）在[-1，e]上的最大值為2．…（8分）
（Ⅱ）假設(shè)曲線y=f（x）上存在兩點P，Q，使得POQ是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，則P，Q只能在y軸的兩側(cè)，不妨設(shè)P（t，f（t））（t＞0），則Q（-t，t³+t²），且t≠1．…（9分）
因為△POQ是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，所以

OP

•

OQ

=0，
即：-t²+f（t）•（t³+t²）=0（1）…（10分）   
是否存在點P，Q等價于方程（1）是否有解．
若0＜t＜1，則f（t）=-t³+t²，代入方程（1）得：t⁴-t²+1=0，此方程無實數(shù)解．…（11分）
若t＞1，則f（t）=alnt，代入方程（1）得到：

1

a

=(t+1)lnt，…（12分）
設(shè)h（x）=（x+1）lnx（x≥1），則h′(x)=lnx+

1

x

＞0在[1，+∞）上恒成立．
所以h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，從而h（x）≥h（1）=0，
所以當a＞0時，方程

1

a

=(t+1)lnt有解，即方程（1）有解．…（14分）
所以，對任意給定的正實數(shù)a，曲線y=f（x）上是否存在兩點P，Q，使得POQ是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在y軸上．…（15分）

點評：本題考查分段函數(shù)，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查存在性問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．