Question

設函數y=f（x）的定義域為R，對任意實數x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），當x＞0時f（x）＜0且f（3）=-4．
（1）求證：y=f（x）為奇函數；
（2）在區(qū)間[-9，9]上，求y=f（x）的最值．

Answer 1

解：（1）證明：令x=y=0，得f（0）=0
令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），即f（-x）=-f（x）
∴f（x）是奇函數…（6分）
（2）解：對任取實數x₁、x₂∈[-9，9]且x₁＜x₂，這時，x₂-x₁＞0，
f（x₁）-f（x₂）=f[（x₁-x₂）+x₂]-f（x₂）=f（x₁-x₂）+f（x₂）-f（x₁）=-f（x₂-x₁）
因為x＞0時f（x）＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x）在[-9，9]上是減函數
故f（x）的最大值為f（-9），最小值為f（9）
而f（9）=f（3+3+3）=3f（3）=-12，f（-9）=-f（9）=12
∴f（x）在區(qū)間[-9，9]上的最大值為12，最小值為-12 …（12分）
分析：（1）判斷f（x）奇偶性，即找出f（-x）與f（x）之間的關系，∴令y=-x，有f（0）=f（x）+f（-x），故問題轉化為求f（0）即可，可對x、y都賦值為0；
（2）先依據函數單調性的定義判斷函數的單調性，充分利用條件當x＞0時，有f（x）＜0與f（x+y）=f（x）+f（y），即可判定單調性，最后利用函數的單調性求出在區(qū)間[-9，9]上，y=f（x）的最值即可．
點評：本題考點是抽象函數及其性質，在研究其奇偶性時本題采取了連續(xù)賦值的技巧，這是判斷抽象函數性質時常用的一種探究的方式，屬于中檔題．