Question

（03年全國卷）（14分）

已知常數(shù)，在矩形ABCD中，，，O為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F、G分別在BC、CD、DA上移動，且，P為GE與OF的交點(diǎn)（如圖），問是否存在兩個定點(diǎn)，使P到這兩點(diǎn)的距離的和為定值？若存在，求出這兩點(diǎn)的坐標(biāo)及此定值；若不存在，請說明理由

Answer 1

解析：根據(jù)題設(shè)條件，首先求出點(diǎn)P坐標(biāo)滿足的方程，據(jù)此再判斷是否存在兩定點(diǎn)，使得點(diǎn)P到定點(diǎn)距離的和為定值.

按題意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）

設(shè)，

由此有E（2，4ak），F(xiàn)（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）.

直線OF的方程為：，        ①

直線GE的方程為：.　�、�

從①，②消去參數(shù)k，得點(diǎn)P（x，y）坐標(biāo)滿足方程，

整理得.

當(dāng)時，點(diǎn)P的軌跡為圓弧，所以不存在符合題意的兩點(diǎn).

當(dāng)時，點(diǎn)P軌跡為橢圓的一部分，點(diǎn)P到該橢圓焦點(diǎn)的距離的和為定長.

當(dāng)時，點(diǎn)P到橢圓兩個焦點(diǎn)的距離之和為定值.

當(dāng)時，點(diǎn)P到橢圓兩個焦點(diǎn)的距離之和為定值.