Question

已知空間四點(diǎn)O（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C（0，0，4），
（1）若直線AB上的一點(diǎn)H滿足AB⊥OH，求點(diǎn)H的坐標(biāo)．
（2）若平面ABC上的一點(diǎn)G滿足OG⊥面ABC，求點(diǎn)G的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由題意，可設(shè)

AH

=λ

AB

=(-2λ，2λ，0)，得到

OH

=(2-2λ，2λ，0)，

AB

=(-2，2，0)，令其內(nèi)積為0，即可得到參數(shù)λ所滿足的方程，解出參數(shù)的值，即可得到點(diǎn)H的坐標(biāo)．
（2）設(shè)G（x，y，z），求出向量

OG

的坐標(biāo)，由于OG⊥面ABC可得

OG

•

AB

=0，

OG

•

AC

=0由這兩個(gè)等式得到方程，解出點(diǎn)G的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)

AH

=λ

AB

=(-2λ，2λ，0)，則

OH

=(2-2λ，2λ，0)，

AB

=(-2，2，0)
由

OH

•

AB

=0，得-4+4λ+4λ=0，
∴λ=

1

2

，
∴H的坐標(biāo)為（1，1，0）
（2）設(shè)G（x，y，z），

AB

=(-2，2，0)，

AC

=(-2，0，4)，由

OG

•

AB

=0，

OG

•

AC

=0
得

-2x+2y=0 -2x+4z=0

∴

x=2z y=2z

①
又∵G在ABC面上，
∴

AG

=λ

AB

+μ

AC

即（X-2，Y，Z）=（-2λ，2λ，0）+（-2μ，0，4μ）=（-2λ-2μ，2λ，4μ），
∴

x-2=-2λ-2μ y=2λ z=4μ

②由①②得x=

8

9

，y=

8

9

，，z=

4

9

∴H的坐標(biāo)為(

8

9

，

8

9

，

4

9

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是平面向量綜合題，考查了線面垂直的向量表示，向量數(shù)量積坐標(biāo)表示，向量共線的坐標(biāo)表示，向量共面基本定理等，解題的關(guān)鍵是理解題意，熟練掌握垂直關(guān)系與數(shù)量積的對(duì)應(yīng)，本題考查了方程的思想及推理判斷的能力是向量中的綜合性較強(qiáng)的題