Question

（2012•張掖模擬）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，它的一條準(zhǔn)線為x=4，過點(diǎn)F₂的直線與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)．當(dāng)PQ與x軸垂直時(shí)，tan∠F1PF2=

4

3

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若

PF2

=λ•

F2Q

，求△PF₁Q的內(nèi)切圓面積最大時(shí)正實(shí)數(shù)λ的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)當(dāng)PQ與x軸垂直時(shí)，tan∠F1PF2=

4

3

，可得tan∠F1PF2=

2c

b2 a

=

4

3

，從而可得a=2c，利用橢圓的一條準(zhǔn)線為x=4，可得

a2

c

=4，從而可求橢圓C的方程；
（2）分類討論：①當(dāng)PQ與x軸垂直時(shí)，由S△F1MF2=

1

2

|PQ||F1F2|=

1

2

(|PF1|+|QF1|+|PQ|)r（其中r為△PF₁Q的內(nèi)切圓半徑），可得λ的值；②當(dāng)PQ與x軸不垂直時(shí)，不妨設(shè)直線PQ的方程為y=k（x-1）代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及S△F1MF2=

1

2

|PQ|d=

1

2

(|PF1|+|QF1|+|PQ|)r，可得結(jié)論．

解答：解：（1）∵當(dāng)PQ與x軸垂直時(shí)，tan∠F1PF2=

4

3

∴tan∠F1PF2=

2c

b2 a

=

4

3

∴

ac

b2

=

2

3

，∴a=2c（2分）
∵橢圓的一條準(zhǔn)線為x=4
∴

a2

c

=4
∴c=1，a=2，b=

3

故所求橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．（2分）
（2）由點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），可設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
①當(dāng)PQ與x軸垂直時(shí)，根據(jù)S△F1MF2=

1

2

•|PQ|•|F1F2|=

1

2

•(|PF1|+|QF1|+|PQ|)•r（其中r為△PF₁Q的內(nèi)切圓半徑），可得|PQ|•2c=4a•r，∴r=

2b2 a •2c

4a

=

3

4

，此時(shí)可知λ=1（2分）
②當(dāng)PQ與x軸不垂直時(shí)，不妨設(shè)直線PQ的方程為y=k（x-1）代入

x2

4

+

y2

3

=1得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0
則

△=144(k2+1)＞0 x1+x2= 8k2 3+4k2 x•x= 4k2-12 3+4k2

（2分）

從而可得|PQ|=

1+k2

•

12 k2+1

3+4k2

=

12(k2+1)

3+4k2

又點(diǎn)F₁（-1，0）到直線PQ的距離d=

|2k|

1+k2

．
依S△F1MF2=

1

2

•|PQ|•d=

1

2

•(|PF1|+|QF1|+|PQ|)•r（其中r為△PF₁Q的內(nèi)切圓半徑）
即|PQ|•d=4a•r（2分）
得r=

|PQ|•d

8

=

1

8

•

12(k2+1)

3+4k2

•

|2k|

1+k2

=3•

k4+k2 16k4+24k2+9

=3•

1 16+ 8 k2 + 1 k4+k2

可知在區(qū)間（0，+∞）上該函數(shù)單調(diào)遞增，故當(dāng)k²→+∞時(shí)，即直線PQ的斜率不存在時(shí)，r最大為

3

4

，亦即△PF₁Q的內(nèi)切圓面積最大，此時(shí)可知λ=1
綜上所求為λ=1．（2分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，解題的關(guān)鍵是求出△PF₁Q的內(nèi)切圓面積，從而確定r最大值．