Question

設(shè)M（-

6

，0），N（

6

，0），動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足條件k_PM•k_PN=-

1

3

，記點(diǎn)P的軌跡為C，點(diǎn)R（-3，0），過(guò)點(diǎn)R且傾斜角為30⁰的直線(xiàn)l交軌跡C于A、B兩點(diǎn)．
（1）求直線(xiàn)l和軌跡C的方程；
（2）點(diǎn)F₁（-2，0），求

F1A

•

F1B

；
（3）在直線(xiàn)l上有兩個(gè)不重合的動(dòng)點(diǎn)C、D，以CD為直徑且過(guò)點(diǎn)F₁的所有圓中，求面積最小的圓的半徑長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）已知一點(diǎn)和斜率可由點(diǎn)斜式得到直線(xiàn)l的方程；設(shè)P（x，y）由k_PM•k_PN=-

1

3

，求點(diǎn)P的軌跡方程．
（2）將直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立解得點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，最后計(jì)算

F1A

•

F1B

．
（3）當(dāng)過(guò)點(diǎn)F₁（-2，0）的直線(xiàn)與直線(xiàn)L垂直時(shí)，圓的面積最小，此時(shí)垂足為圓心．所以半徑長(zhǎng)為點(diǎn)F₁（-2，0）到直線(xiàn)l的距離．

解答：解：（1）由點(diǎn)斜式可知直線(xiàn)l的方程為：

3

x- 3y-3

3

=0
設(shè)P（x，y）
∵k_PM•k_PN=-

1

3

，
∴

y

x+ 6

•

y

x- 6

=-

1

3

∴

x2

6

+

y2

2

 =1
（2）將直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立可得：

x2 6 + y2 2 =1 3 x- 3y-3 3 =0

解得：A(

3+ 3

2

，

1- 3

2

)B（(

3- 3

2

，-

1+ 3

2

)）
∴

F1A

•

F1B

=12
（3）根據(jù)題意：當(dāng)過(guò)點(diǎn)F₁（-2，0）的直線(xiàn)與直線(xiàn)L垂直時(shí)，圓的面積最小，
此時(shí)垂足為圓心．
所以半徑長(zhǎng)為點(diǎn)F₁（-2，0）到直線(xiàn)l的距離
∴r=

| 2 3 -3 3 |

2 3

=

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線(xiàn)方程的求法，直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系及直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系．