Question

設(shè)M（-

6

，0），N（

6

，0），動點(diǎn)P滿足條件k_PM•k_PN=-

1

3

，記點(diǎn)P的軌跡為C，點(diǎn)R（-3，0），過點(diǎn)R且傾斜角為30⁰的直線l交軌跡C于A、B兩點(diǎn)．
（1）求直線l和軌跡C的方程；
（2）點(diǎn)F₁（-2，0），求

F1A

•

F1B

；
（3）在直線l上有兩個不重合的動點(diǎn)C、D，以CD為直徑且過點(diǎn)F₁的所有圓中，求面積最小的圓的半徑長．

Answer 1

（1）由點(diǎn)斜式可知直線l的方程為：

3

x- 3y-3

3

=0
設(shè)P（x，y）
∵k_PM•k_PN=-

1

3

，
∴

y

x+ 6

•

y

x- 6

=-

1

3

∴

x2

6

+

y2

2

 =1
（2）將直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得：

x2 6 + y2 2 =1 3 x- 3y-3 3 =0

解得：A(

3+ 3

2

，

1- 3

2

)B（(

3- 3

2

，-

1+ 3

2

)）
∴

F1A

•

F1B

=12
（3）根據(jù)題意：當(dāng)過點(diǎn)F₁（-2，0）的直線與直線L垂直時，圓的面積最小，
此時垂足為圓心．
所以半徑長為點(diǎn)F₁（-2，0）到直線l的距離
∴r=

| 2 3 -3 3 |

2 3

=

1

2