Question

將邊長為2的正方形ABCD沿對角線BD折疊，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且AE=．
（Ⅰ）求證：DE⊥AC；
（Ⅱ）求DE與平面BEC所成角的正弦值；
（Ⅲ）直線BE上是否存在一點M，使得CM∥平面ADE，若存在，求點M的位置，不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）借助空間向量來證 DE⊥AC，只需在空間直角坐標系下，證明=0 即可．以A為坐標原點AB，AD，AE所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，再寫出定點E，A，B，D的坐標，求出C點坐標，向量，坐標，再計算（Ⅱ），看是否為0．
（Ⅱ）DE與平面BEC所成角，也即DE與平面BCE的法向量所成角的余角，設(shè)平面BCE的法向量為=（x，y，z） 則
根據(jù)法向量與平面內(nèi)任意向量垂直，即可求出平面BCE的法向量坐標，再求平面BCE的法向量與DE所成角，最后求出該角的余角即可．
（III）先假設(shè)直線BE上存在一點M，使得CM∥平面ADE，向量垂直于平面ADE的法向量，再利用垂直時數(shù)量積為0來計算．如能計算出參數(shù)λ的值，則存在，否則，不存在．
解答：解：（Ⅰ）以A為坐標原點AB，AD，AE所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系
則E（0，0，），B（2，0，0）D（0，2，0），
做BD的中點F并連接CF，AF；由題意可得CF⊥BD且AF=CF=
又∵平面BDA⊥平面BDC，∴CF⊥平面BDA，
所以C的坐標為C（1，1，）
∴=（0，-2，），=（1，1，）
∴=（0，-2，）•（1，1，）=0
故DE⊥AC                                                        
（Ⅱ）設(shè)平面BCE的法向量為=（x，y，z） 則
，即∴
令x=1得=（1，-1，）    又=（0，-2，）                          
設(shè)平面DE與平面BCE所成角為θ，則
sinθ=|cos＜，＞|==
（III）假設(shè)存在點M使得CM∥面ADE，則=
=（2，0，-），∴=（2λ，0，-）  得M（2λ，0，）     
又因為AE⊥平面ABD，AB⊥AD  所以AB⊥平面ADE
因為CM∥面ADE，則 即
得2λ-1=0∴λ=
故點M為BE的中點時CM∥面ADE．
點評：夲題考查了用空間向量求證線線垂直，線面平行，以及線面角，屬于常規(guī)題，需掌握．