Question

若將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成一個(gè)直二面角，且EA⊥平面ABD，AE=a（如圖）．
（Ⅰ）若a=2

2

，求證：AB∥平面CDE；
（Ⅱ）求實(shí)數(shù)a的值，使得二面角A-EC-D的大小為60°．

Answer 1

分析：（Ⅰ）建立空間直角坐標(biāo)系，確定平面CDE的一個(gè)法向量

n1

=(0，2，

2

)，利用數(shù)量積為0，即可證得AB∥平面CDE；  
（Ⅱ）確定平面CDE的一個(gè)法向量

n2

=(a-2

2

，a，2)，平面AEC的一個(gè)法向量為

n3

=(-1，1，0)，利用二面角A-EC-D的大小為60°，結(jié)合向量的夾角公式，即可求求實(shí)數(shù)a的值．

解答：（Ⅰ）證明：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則
A（0，0，0），B（2，0，0），C（1，1，

2

），D（0，2，0），E（0，0，2

2

），
∴

AB

=(2，0，0)，

DE

=(0，-2，2

2

)，

DC

=(1，-1，

2

)（2分）
設(shè)平面CDE的一個(gè)法向量為

n1

=(x，y，z)，
則有-2y+2

2

z=0，x-y+

2

z=0，
取z=

2

時(shí)，

n1

=(0，2，

2

)（4分）
∴

AB

•

n1

=0，又AB不在平面CDE內(nèi)，所以AB∥平面CDE；    （7分）
（Ⅱ）解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B（2，0，0），C（1，1，

2

），D（0，2，0），E（0，0，a），∴

DE

=(0，-2，a)，

DC

=(1，-1，

2

)，
設(shè)平面CDE的一個(gè)法向量為

n2

=(x，y，z)，則有-2y+az=0，x-y+

2

z=0，
取z=2時(shí)，

n2

=(a-2

2

，a，2)（9分）
又平面AEC的一個(gè)法向量為

n3

=(-1，1，0)，（10分）
∵二面角A-EC-D的大小為60°，∴

n2 • n3

| n2 || n3 |

=

1

2

，
即a2-2

x

a-2=0，解得a=

2

±2（13分）
又a＞0，所以a=

2

+2．        （14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行，考查面面角，考查利用空間向量解決立體幾何問題，確定平面的法向量是關(guān)鍵，屬于中檔題．