Question

【題目】已知函數(shù)，其中．

（1）當(dāng)時(shí)，求證：時(shí)，；

（2）試討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)；有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．

【解析】

試題分析：（1）首先將代入函數(shù)解析式，然后令，再通過(guò)求導(dǎo)得到的單調(diào)性，從而使問(wèn)題得證；（2）首先求得，然后求得時(shí)的值，再對(duì)分類(lèi)討論，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性極值與最值，即可得出函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，令（），則，

當(dāng)時(shí)，，，，此時(shí)函數(shù)遞增，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，………①

（2）………②，令，得，，

（i）當(dāng)時(shí)，，由②得……③

當(dāng)時(shí)，，，，此時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，

時(shí)，，，時(shí)，，

故函數(shù)，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

（ii）當(dāng)時(shí)，，且，

由②知，當(dāng)，，，，

此時(shí)，；同理可得，當(dāng)，；當(dāng)時(shí)，；

函數(shù)的增區(qū)間為和，減區(qū)間為

故，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

函數(shù)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

又，構(gòu)造函數(shù)，，則

……④，易知，對(duì)，，函數(shù)，

為減函數(shù)，

由，知，……⑤

構(gòu)造函數(shù)（），則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)

時(shí)，，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，，

有，則，

，當(dāng)時(shí)，……⑥

而……⑦

由⑥⑦知……⑧

又函數(shù)在上遞增，

由⑤⑧和函數(shù)零點(diǎn)定理知，，使得

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，

綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．