Question

（2011•寧德模擬）已知函數(shù)f（x）=2^|x|，若存在x∈R，使得不等式2f(x)+

1

f(x)

≤k成立，則實(shí)數(shù)k的最小值是（　�。�

• A．3
• B．2

  2

• C．2
• D．

  2

Answer 1

分析：由題意知這是一個(gè)存在性的問題，須求出不等式左邊的最小值，令k大于等于左邊的最小值，即可解出實(shí)數(shù)k的最小值．

解答：解：設(shè)F（x）=2f(x)+

1

f(x)

，
由于F（-x）=F（x），
∴F（x）是偶函數(shù)，
當(dāng)x≥0時(shí)，F(xiàn)（x）=2×2x+

1

2x

，
設(shè)x₁＞x₂≥0，則F（x₁）-F（x₂）=2×2x 1+

1

2x 1

-（2×2x 2+

1

2x 2

）
=（2x1-2x2）×

2×2x1×2x2-1

2x1•2x2

∵x₁＞x₂≥0，∴2x1＞2x2，2×2x1-2x2-1＞0，
∴F（x₁）-F（x₂）＞0，
∴F（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，當(dāng)x=0時(shí)，F(xiàn)（x）取得最小值3．
又F（x）是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，
∴當(dāng)x∈R時(shí)，F(xiàn)（x）取得最小值3．
∵存在實(shí)數(shù)x使得不等式2f(x)+

1

f(x)

≤k成立，
∴k≥3，則實(shí)數(shù)k的最小值是3
故選A．

點(diǎn)評：本題考查不等關(guān)系與不等式，求解本題的關(guān)鍵是正確理解題意，區(qū)分存在問題與恒成立問題的區(qū)別，本題是一個(gè)存在問題，故取k≥3，即k大于等于左邊的最小值即滿足題意，本題是一個(gè)易錯(cuò)題，主要錯(cuò)誤就是出在把存在問題當(dāng)成恒成立問題求解導(dǎo)致錯(cuò)誤．