Question

已知幾何體E-ABCD如圖所示，其中四邊形ABCD為矩形，△ABE為等邊三角形，且AD=

3

，AE=2，DE=

7

，點F為棱BE上的動點．
（1）若DE∥平面AFC，試確定點F的位置；
（2）在（1）的條件下，求二面角E-DC-F的余弦值．

Answer 1

分析：（1）連接BD交AC于點M，若DE∥平面AFC，則DE∥FM，點M為BD中點，則F為棱BE的中點即可確定點F的位置；
（2）解法一（向量法）：由（1）可得F為棱BE的中點，以AB中點O為坐標原點，以O(shè)E為x軸，以O(shè)B為y軸，以O(shè)M為z軸，建立空間直角坐標系，分別求出平面DCE的法向量和平面DCF的法向量，代入向量夾角公式可得答案．
解法二（幾何法）：取AB中點O，CD中點N，可得∠ONE就是二面角E-DC-A的平面角，進而可求出該角的正切值，同理可求出二面角F-DC-A的平面角β的正切值，若二面角E-DC-F為θ，則θ=α-β，利用兩角差的正切公式及同角三角函數(shù)關(guān)系，可得答案．

解答：解：（1）連接BD交AC于點M，若DE∥平面AFC，
則DE∥FM，點M為BD中點，則F為棱BE的中點…（4分）
（2）AD=

3

，AE=2，DE=

7

，∴DA⊥AE．
又四邊形ABCD為矩形，∴DA⊥面ABE．
解法一（向量法）：
以AB中點O為坐標原點，以O(shè)E為x軸，以O(shè)B為y軸，以O(shè)M為z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示．
則

DE

=（

3

，1，-

3

），

CE

=（

3

，-1，-

3

），
設(shè)平面DCE的法向量n=（x，y，z），
∴

DE • n =0 CE • n =0

，即

3 x+y- 3 z=0 3 x-y- 3 z=0

令x=1，則n=（1，0，1）．

DF

=（

3

2

，

3

2

，-

3

），

CF

=（

3

2

，-

1

2

，-

3

）．
設(shè)平面DCF的法向量m=（x，y，z）．

DF • m =0 CF • m =0

，即

3 2 x+ 3 2 y- 3 z=0 3 2 x- 1 2 y- 3 z=0

令x=2，則m=（2，0，1）．
設(shè)二面角E-DC-F的平面角為θ，cosθ=

m•n

|m||n|

=

3 10

10

…（12分）
解法二（幾何法）：
設(shè)二面角E-DC-A的平面角為α，
取AB中點O，CD中點N，
EO⊥平面ACD，ON⊥CD，
∴∠ONE就是二面角E-DC-A的平面角…（6分）
∴∠ONE=α，tanα=1…（8分）
同理設(shè)二面角F-DC-A的平面角為β，
tanβ=

1

2

…（10分）
設(shè)二面角E-DC-F為θ，θ=α-β，
∴tanθ=

1

3

，
∴cosθ=

3 10

10

…（12分）

點評：本題是中檔題，考查空間幾何二面角的求法，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，直線與平面平行的應(yīng)用，考查空間想象能力．