Question

（2011•重慶三模）已知半徑R的球的球面上有三個(gè)點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)間的球面距離都等于

πR

3

，且經(jīng)過這三個(gè)點(diǎn)的小圓周長為4π，則R=（　　）

• A．4

  3

• B．2

  3

• C．2
• D．

  3

Answer 1

分析：根據(jù)球面上三個(gè)點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)間的球面距離都等于

πR

3

，得出AB=BC=CA=R，利用其周長得到正三角形ABC的外接圓半徑r=2，故可以得到高，設(shè)D是BC的中點(diǎn)，在△OBC中，又可以得到角以及邊與R的關(guān)系，在Rt△ABD中，再利用直角三角形的勾股定理，即可解出R．

解答：解：∵球面上三個(gè)點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)間的球面距離都等于

πR

3

，
∴∠ABC=∠BCA=∠CAB=

π

3

，
∴AB=BC=CA=R，設(shè)球心為O，
因?yàn)檎�三角形ABC的外徑r=2，故高AD=

3

2

r=3，D是BC的中點(diǎn)．
在△OBC中，BO=CO=R，∠BOC=

π

3

，所以BC=BO=R，BD=

1

2

BC=

1

2

R．
在Rt△ABD中，AB=BC=R，所以由AB²=BD²+AD²，得R²=

1

4

R²+9，所以R=2

3

．
故選B．

點(diǎn)評：本題考查對球的性質(zhì)認(rèn)識及利用，以及學(xué)生的空間想象能力，是基礎(chǔ)題．