Question

用長(zhǎng)為18cm的鋼條圍成一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的框架，要求長(zhǎng)方體的長(zhǎng)與寬之比為2：1，問(wèn)該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各為多少時(shí)，其體積最大？最大體積是多少？

Answer 1

分析：先設(shè)設(shè)長(zhǎng)方體的寬為x（m），利用長(zhǎng)方體的體積公式求得其體積表達(dá)式，再利用導(dǎo)數(shù)研究它的單調(diào)性，進(jìn)而得出此函數(shù)的最大值即可．

解答：解：設(shè)長(zhǎng)方體的寬為x（m），則長(zhǎng)為2x（m），高為h=

18-12x

4

=4.5-3x(m)(0＜x＜

3

2

)．
故長(zhǎng)方體的體積為V（x）=2x²（4.5-3x）=9x²-6x³（m³）(0＜x＜

3

2

)．
從而V′（x）=18x-18x²=18x（1-x）．
令V′（x）=0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1．
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，V′（x）＞0；當(dāng)1＜x＜

2

3

時(shí)，V′（x）＜0，
故在x=1處V（x）取得極大值，并且這個(gè)極大值就是V（x）的最大值．
從而最大體積V=V′（x）=9×1²-6×1³（m³），此時(shí)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為2m，高為1.5m．
答：當(dāng)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為2m時(shí)，寬為1m，高為1.5m時(shí)，體積最大，最大體積為3m³．

點(diǎn)評(píng)：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題，關(guān)鍵是要建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，函數(shù)的最值要由極值和端點(diǎn)的函數(shù)值確定．當(dāng)函數(shù)定義域是開(kāi)區(qū)間且在區(qū)間上只有一個(gè)極值時(shí)，這個(gè)極值就是它的最值．