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        1. (2013•湖北)如圖,已知橢圓C1與C2的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,長(zhǎng)軸均為MN且在x軸上,短軸長(zhǎng)分別為2m,2n(m>n),過原點(diǎn)且不與x軸重合的直線l與C1,C2的四個(gè)交點(diǎn)按縱坐標(biāo)從大到小依次為A,B,C,D,記λ=
          mn
          ,△BDM和△ABN的面積分別為S1和S2
          (Ⅰ)當(dāng)直線l與y軸重合時(shí),若S1=λS2,求λ的值;
          (Ⅱ)當(dāng)λ變化時(shí),是否存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l,使得S1=λS2?并說明理由.
          分析:(Ⅰ)設(shè)出兩個(gè)橢圓的方程,當(dāng)直線l與y軸重合時(shí),求出△BDM和△ABN的面積S1和S2,直接由面積比=λ列式求λ的值;
          (Ⅱ)假設(shè)存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l,使得S1=λS2,設(shè)出直線方程,由點(diǎn)到直線的距離公式求出M和N到直線l的距離,利用數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想把兩個(gè)三角形的面積比轉(zhuǎn)化為線段長(zhǎng)度比,由弦長(zhǎng)公式得到線段長(zhǎng)度比的另一表達(dá)式,兩式相等得到
          a2k2+n2
          a2k2+m2
          =
          λ+1
          λ(λ-1)
          ,換元后利用非零的k值存在討論λ的取值范圍.
          解答:解:以題意可設(shè)橢圓C1和C2的方程分別為
          C1
          x2
          a2
          +
          y2
          m2
          =1
          ,C2
          x2
          a2
          +
          y2
          n2
          =1
          .其中a>m>n>0,
          λ=
          m
          n

          (Ⅰ)如圖1,若直線l與y軸重合,即直線l的方程為x=0,則
          S1=
          1
          2
          |BD|•|OM|=
          1
          2
          a|BD|
          ,
          S2=
          1
          2
          |AB|•|ON|=
          1
          2
          a|AB|
          ,
          所以
          S1
          S2
          =
          |BD|
          |AB|

          在C1和C2的方程中分別令x=0,可得yA=m,yB=n,yD=-m,
          于是
          |BD|
          |AB|
          =
          |yB-yD|
          |yA-yB|
          =
          m+n
          m-n
          =
          λ+1
          λ-1

          S1
          S2
          ,則
          λ+1
          λ-1
          ,化簡(jiǎn)得λ2-2λ-1=0,由λ>1,解得λ=
          2
          +1

          故當(dāng)直線l與y軸重合時(shí),若S1=λS2,則λ=
          2
          +1

          (Ⅱ)如圖2,若存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l,使得S1=λS2,根據(jù)對(duì)稱性,
          不妨設(shè)直線l:y=kx(k>0),
          點(diǎn)M(-a,0),N(a,0)到直線l的距離分別為d1,d2,則
          d1=
          |-ak-0|
          1+k2
          =
          ak
          1+k2
          ,d2=
          |ak-0|
          1+k2
          =
          ak
          1+k2
          ,所以d1=d2
          S1=
          1
          2
          |BD|d1S2=
          1
          2
          |AB|d2
          ,所以
          S1
          S2
          =
          |BD|
          |AB|
          ,即|BD|=λ|AB|.
          由對(duì)稱性可知|AB|=|CD|,所以|BC|=|BD|-|AB|=(λ-1)|AB|,
          |AD|=|BD|+|AB|=(λ+1)|AB|,于是
          |AD|
          |BC|
          =
          λ+1
          λ-1

          將l的方程分別與C1和C2的方程聯(lián)立,可求得
          xA=
          am
          a2k2+m2
          ,xB=
          an
          a2k2+n2

          根據(jù)對(duì)稱性可知xC=-xB,xD=-xA,于是
          |AD|
          |BC|
          =
          1+k2
          |xA-xD|
          1+k2
          |xB-xC|
          =
          m
          n
          a2k2+n2
          a2k2+m2

          從而由①和②可得
          a2k2+n2
          a2k2+m2
          =
          λ+1
          λ(λ-1)

          t=
          λ+1
          λ(λ-1)
          ,則由m>n,可得t≠1,于是由③可得k2=
          n2(λ2t2-1)
          a2(1-t2)

          因?yàn)閗≠0,所以k2>0.于是③關(guān)于k有解,當(dāng)且僅當(dāng)
          n2(λ2t2-1)
          a2(1-t2)
          >0
          ,
          等價(jià)于(t2-1)(t2-
          1
          λ2
          )<0
          ,由λ>1,解得
          1
          λ
          <t<1
          ,
          1
          λ
          λ+1
          λ(λ-1)
          <1
          ,由λ>1,解得λ>1+
          2
          ,所以
          當(dāng)1<λ≤1+
          2
          時(shí),不存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l,使得S1=λS2
          當(dāng)λ>1+
          2
          時(shí),存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l,使得S1=λS2
          點(diǎn)評(píng):本題考查了三角形的面積公式,考查了點(diǎn)到直線的距離公式,考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系,該題重點(diǎn)考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,(Ⅱ)中判斷λ的存在性是該題的難題,考查了靈活運(yùn)用函數(shù)和不等式的思想方法.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•湖北)如圖,AB是圓O的直徑,點(diǎn)C是圓O上異于A,B的點(diǎn),直線PC⊥平面ABC,E,F(xiàn)分別是PA,PC的中點(diǎn).
          (Ⅰ)記平面BEF與平面ABC的交線為l,試判斷直線l與平面PAC的位置關(guān)系,并加以證明;
          (Ⅱ)設(shè)(Ⅰ)中的直線l與圓O的另一個(gè)交點(diǎn)為D,且點(diǎn)Q滿足
          DQ
          =
          1
          2
          CP
          .記直線PQ與平面ABC所成的角為θ,異面直線PQ與EF所成的角為α,二面角E-l-C的大小為β.求證:sinθ=sinαsinβ.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•湖北)如圖,將一個(gè)各面都涂了油漆的正方體,切割為125個(gè)同樣大小的小正方體,經(jīng)過攪拌后,從中隨機(jī)取一個(gè)小正方體,記它的涂漆面數(shù)為X,則X的均值E(X)=(  )

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•湖北)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù),如三角形數(shù)1,3,6,10,…,第n個(gè)三角形數(shù)為
          n(n+1)
          2
          =
          1
          2
          n2+
          1
          2
          n
          .記第n個(gè)k邊形數(shù)為N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式:
          三角形數(shù)N(n,3)=
          1
          2
          n2+
          1
          2
          n
          ,
          正方形數(shù)N(n,4)=n2,
          五邊形數(shù)N(n,5)=
          3
          2
          n2-
          1
          2
          n

          六邊形數(shù)N(n,6)=2n2-n,

          可以推測(cè)N(n,k)的表達(dá)式,由此計(jì)算N(10,24)=
          1000
          1000

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•湖北)如圖,某地質(zhì)隊(duì)自水平地面A,B,C三處垂直向地下鉆探,自A點(diǎn)向下鉆到A1處發(fā)現(xiàn)礦藏,再繼續(xù)下鉆到A2處后下面已無礦,從而得到在A處正下方的礦層厚度為A1A2=d1.同樣可得在B,C處正下方的礦層厚度分別為B1B2=d2,C1C2=d3,且d1<d2<d3.過AB,AC的中點(diǎn)M,N且與直線AA2平行的平面截多面體A1B1C1-A2B2C2所得的截面DEFG為該多面體的一個(gè)中截面,其面積記為S
          (Ⅰ)證明:中截面DEFG是梯形;
          (Ⅱ)在△ABC中,記BC=a,BC邊上的高為h,面積為S.在估測(cè)三角形ABC區(qū)域內(nèi)正下方的礦藏儲(chǔ)量(即多面體A1B1C1-A2B2C2的體積V)時(shí),可用近似公式V=S-h來估算.已知V=
          13
          (d1+d2+d3)S,試判斷V與V的大小關(guān)系,并加以證明.

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          同步練習(xí)冊(cè)答案