函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn),若點(diǎn)(1,1)為函數(shù)f(x)的駐點(diǎn),則稱f(x)具有“1—1駐點(diǎn)性”.
(1)設(shè)函數(shù)f(x)=-x+2+alnx,其中a≠0。
①求證:函數(shù)f(x)不具有“1—1駐點(diǎn)性”;②求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間
(2)已知函數(shù)g(x)=bx3+3x2+cx+2具有“1—1駐點(diǎn)性”,給定x1,x2ÎR,x1<x2,設(shè)λ為實(shí)數(shù),且λ≠-1,α=,β=
,若|g(α)-g(β)|>|g(x1)-g(x2)|,求λ的取值范圍.
解:(Ⅰ)①=-1+
+
∵
=-1+1+a≠0,
∴函數(shù)f(x)不具有“1—1駐點(diǎn)性”.…………………………………………2分
②由=
=
(ⅰ)當(dāng)a+<0,即a<-
時(shí),
<0.∴f(x)是(0,+∞)上的減函數(shù);
(ⅱ)當(dāng)a+=0,即a=-
時(shí),顯然
≤0.∴f(x)是(0,+∞)上的減函數(shù);………………………………4分
(ⅲ)當(dāng)a+>0,即a>-
時(shí),由
=0得
=
±
…………………………………………6分
當(dāng)-<a<0時(shí),
-
>0∴xÎ(0, a+
-
)時(shí),
<0;
xÎ( a+-
, a+
+
)時(shí),
>0; xÎ( a+
+
, +∞)時(shí),
<0;
當(dāng)a>0時(shí),-
<0 ∴xÎ(0, a+
+
)時(shí),
>0; xÎ( a+
+
,+∞)時(shí),
<0;
綜上所述:當(dāng)a≤-時(shí),函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+∞);
當(dāng)-<a<0時(shí),函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0, a+
-
)和( a+
+
,+∞),
函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為( a+-
, a+
+
);
當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0, a++
),
函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為( a++
, +∞);…………………………………………9分
(Ⅱ)由題設(shè)得:=3bx2+6x+c,∵g(x)具有“1—1駐點(diǎn)性”∴
且
即解得
∴
=-3x2+6x-3=-3(x-1)2≤0,故g(x)在定義域R上單調(diào)遞減.
①當(dāng)λ≥0時(shí),有α=≥
=x1,α=
<
=x2,即αÎ[x1,x2),同理βÎ(x1,x2] ………11分
由g(x)的單調(diào)性可知:g(α),g(β)Î[ g(x2),g(x1)]∴|g(α)-g(β)|≤|g(x1)-g(x2)|與題設(shè)|g(α)-g(β)|>|g(x1)-g(x2)|不符.
②當(dāng)-1<λ<0時(shí),α=<
=x1,β=
>
=x2……………………………………13分
即α<x1<x2<β∴g(β)<g(x2)<g(x1)<g(α)∴|g(α)-g(β)|>|g(x1)-g(x2)|,符合題設(shè)
③當(dāng)λ<-1時(shí),α=>
=x2, β=
<
=x1,即β<x1<x2<α
∴g(α)<g(x2)<g(x1)<g(β)∴|g(α)-g(β)|>|g(x1)-g(x2)|也符合題設(shè)……… ……………………15分
由此,綜合①②③得所求的λ的取值范圍是λ<0且λ≠-1
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x |
x1+λx2 |
1+λ |
x2+λx1 |
1+λ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年江蘇省無錫市高考數(shù)學(xué)模擬試卷(3)(解析版) 題型:解答題
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