Question

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)，若點(diǎn)（1，1）為函數(shù)f（x）的駐點(diǎn)，則稱f（x）具有“1-1駐點(diǎn)性”．
（1）設(shè)函數(shù)f（x）=-x+2

x

+alnx，其中a≠0．
①求證：函數(shù)f（x）不具有“1-1駐點(diǎn)性”
②求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間
（2）已知函數(shù)g（x）=bx³+3x²+cx+2具有“1-1駐點(diǎn)性”，給定x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，設(shè)λ為實(shí)數(shù)，且λ≠-1，α=

x1+λx2

1+λ

，β=

x2+λx1

1+λ

，若|g（α）-g（β）|＞|g（x₁）-g（x₂）|，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）①對(duì)函數(shù)f（x）=-x+2

x

+alnx求導(dǎo)，驗(yàn)證f′（1）≠0即可說(shuō)明函數(shù)f（x）不具有“1-1駐點(diǎn)性”；②根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，即f′（x）＞0時(shí)不等式解集就是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，f′（x）＜0時(shí)不等式解集就是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，注意對(duì)參數(shù)a的討論；
（2）由題設(shè)知，函數(shù)g（x）得導(dǎo)數(shù)g′（x）=g′（x）=3bx²+6x+c，根據(jù)g（x）具有“1-1駐點(diǎn)性，求出b，c的值，從而g（x）在R上單調(diào)遞減，分①λ≥0②-1＜λ＜0③λ＜-1三種情況討論求解λ得范圍即可

解答：解：（1）①f′（x）=-1+

1

x

+

a

x

∵f′（1）=-1+1+a≠0，
∴函數(shù)f（x）不具有“1-1駐點(diǎn)性”．
②由f′（x）=

-x+ x +a

x

=

-( x - 1 2 ) 2+a+  1 4

x

（ⅰ）當(dāng)a+

1

4

＜0，即a＜-

1

4

時(shí)，f′（x）＜0．∴f（x）是（0，+∞）上的減函數(shù)；
（ⅱ）當(dāng)a+

1

4

=0，即a=-

1

4

時(shí)，顯然f′（x）≤0．∴f（x）是（0，+∞）上的減函數(shù)
（ⅲ）當(dāng)a+

1

4

＞0，即a＞-

1

4

時(shí)，由f′（x）=0得

x

=

1

2

±

a+ 1 4

當(dāng)-

1

4

＜a＜0時(shí)，

1

2

-

a+ 1 4

＞0
∴x∈（0，a+

1

2

-

a+ 1 4

）時(shí)，f′（x）＜0；
x∈（ a+

1

2

-

a+ 1 4

，a+

1

2

+

a+ 1 4

）時(shí)，f′（x）＞0； x∈（a+

1

2

+

a+ 1 4

，+∞）時(shí)，f′（x）＜0；
當(dāng)a＞0時(shí)，

1

2

-

a+ 1 4

＜0
∴x∈（0，a+

1

2

+

a+ 1 4

）時(shí)，f′（x）＞0； x∈（ a+

1

2

+

a+ 1 4

，+∞）時(shí)，f′（x）＜0；
綜上所述：當(dāng)a≤-

1

4

時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）；
當(dāng)-

1

4

＜a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，a+

1

2

-

a+ 1 4

）和（ a+

1

2

+

a+ 1 4

，+∞），
函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（ a+

1

2

-

a+ 1 4

，a+

1

2

+

a+ 1 4

）；
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，a+

1

2

+

a+ 1 4

），
函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（ a+

1

2

+

a+ 1 4

，+∞）
（Ⅱ）由題設(shè)得：g′（x）=3bx²+6x+c，
∵g（x）具有“1-1駐點(diǎn)性”∴g（1）=1且g′（1）=0
即

b+3+c+2=1 3b+6+c=0

解得

b=-1 c=-3

∴g′（x）=-3x²+6x-3=-3（x-1）²≤0，故g（x）在定義域R上單調(diào)遞減．
①當(dāng)λ≥0時(shí)，α=

x1+λx2

1+λ

≥

x1+λx1

1+λ

=x₁，α=

x1+λx2

1+λ

＜

x2+λx2

1+λ

=x₂，即α∈[x₁，x₂），同理β∈（x₁，x₂]
由g（x）的單調(diào)性可知：g（α），g（β）∈[g（x₂），g（x₁）]
∴|g（α）-g（β）|≤|g（x₁）-g（x₂）|與題設(shè)|g（α）-g（β）|＞|g（x₁）-g（x₂）|不符．
②當(dāng)-1＜λ＜0時(shí)，α=

x1+λx2

1+λ

＜

x1+λx1

1+λ

=x₁，β=

x2+λx1

1+λ

＞

x2+λx2

1+λ

=x₂
即α＜x₁＜x₂＜β∴g（β）＜g（x₂）＜g（x₁）＜g（α）
∴|g（α）-g（β）|＞|g（x₁）-g（x₂）|，符合題設(shè)
③當(dāng)λ＜-1時(shí)，α=

x1+λx2

1+λ

＞

x2+λx2

1+λ

=x₂，β=

x2+λx1

1+λ

＜

x1+λx1

1+λ

=x₁，即β＜x₁＜x₂＜α
∴g（α）＜g（x₂）＜g（x₁）＜g（β）
∴|g（α）-g（β）|＞|g（x₁）-g（x₂）|也符合題設(shè)
由此，綜合①②③得所求的λ的取值范圍是λ＜0且λ≠-1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象及導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問(wèn)題的綜合能力，屬難題．